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Chapter 21: Problem 2

Ist es möglich, für eine reelle \(2 \times 2\) Matrix einen reellen und einen komplexen Eigenwert zu erhalten?

Short Answer

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Nein, es ist nicht möglich, für eine reelle \(2 \times 2\) Matrix einen reellen und einen komplexen Eigenwert zu erhalten. Die Eigenwerte sind entweder beide reell oder konjugierte komplexe Paare.

Step by step solution

01

Verständnis der Eigenschaften der Eigenwerte reeller Matrizen

Zuerst sollten wir in Betracht ziehen, dass die Eigenwerte einer Matrix die Lösungen des Eigenwertproblems sind, das durch die Gleichung \(Ax = \lambda x\) definiert ist, wobei A die Matrix ist, \(\lambda\) der Eigenwert und x der Eigenvektor ist. Für reelle \(2 \times 2\) Matrizen können die Eigenwerte entweder reell oder komplex sein, aber sie kommen immer in konjugierten Paaren vor, wenn sie komplex sind.
02

Bewertung der Fragenaufgabe

Gegeben die oben genannten Eigenschaften von Eigenwerten, würde die Frage darauf hinauslaufen, ob es möglich ist, einen reellen und einen komplexen Eigenwert für die gleiche \(2 \times 2\) Matrix zu haben. Da jedoch reelle Eigenwerte einzeln und komplexe Eigenwerte paarweise vorkommen, ist es nicht möglich, für eine reelle \(2 \times 2\) Matrix einen reellen und einen komplexen Eigenwert zu erhalten. Die Eigenwerte sind entweder beide reell oder konjugierte komplexe Paare.

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a) Finde die Eigenwerte für \(A=\left(\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 1 & 3\end{array}\right)\) (b) Zeichne die zwei entsprechenden Eigenvektoren.

Beweise, daß keine reellen Eigenwerte für die folgende Matrix bestehen $$ A=\left(\begin{array}{rr} 3 & 2 \\ -2 & 1 \end{array}\right) $$

(a) Finde alle Eigenwerte für die folgende Matrix $$ A=\left(\begin{array}{rrr} -1 & -1 & 1 \\ -4 & 2 & 4 \\ -1 & 1 & 5 \end{array}\right) $$ Hinweis: Alle Matrixelemente sind ganzzahlig. (b) Bestimme die entsprechenden Eigenvektoren.

In gewissen Fällen ist es schwierig, geeignete Eigenwerte zu finden. Dies sei am Beispiel gezeigt. Bestimmen Sie die Wurzeln der charakteristischen Gleichung für die Matrix \(A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)\) Versuchen Sie die entsprechenden Eigenvektoren zu finden.
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