$$\begin{gathered} \mathrm{Suppose}\mathrm{that}\mathrm{for}\mathrm{some}\mathrm{b}>0,\mathrm{the}\mathrm{region}\mathrm{between}\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{and}\mathrm{y}=0\mathrm{on}[0,\mathrm{b}], \\ \mathrm{rotated}\mathrm{around}\mathrm{the}\mathrm{x}-\mathrm{axis},\mathrm{has}\mathrm{volume}\mathrm{V}=8\mathrm{\pi }.\mathrm{Without}\mathrm{solving}\mathrm{any}\mathrm{integrals}, \\ \mathrm{find}\mathrm{the}\mathrm{volume}\mathrm{of}\mathrm{solid}\mathrm{obtained}\mathrm{by}\mathrm{rotating}\mathrm{the}\mathrm{region}\mathrm{bounded}\mathrm{by}\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}},\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{b}}, \\ \mathrm{and}\mathrm{x}=0\mathrm{around}\mathrm{the}\mathrm{x}-\mathrm{axis}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{volume}\mathrm{of}\mathrm{solid}\mathrm{formed}\mathrm{by}\mathrm{rotating}\mathrm{the}\mathrm{region}\mathrm{between}\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}} \\ \mathrm{and}\mathrm{y}=0\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{interval}[0,\mathrm{b}]\mathrm{is}\mathrm{known}\mathrm{to}\mathrm{be}8\mathrm{\pi }. \end{gathered}$$

$\mathrm{Plot}\mathrm{the}\mathrm{graph}\mathrm{of}\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{and}\mathrm{identify}\mathrm{the}\mathrm{region}\mathrm{of}\mathrm{rotation}\mathrm{here}.$

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{region}\mathrm{bounded}\mathrm{by}\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}},\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{b}}\mathrm{and}\mathrm{x}=0. \\ \mathrm{The}\mathrm{equation}\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{b}}\mathrm{represents}\mathrm{a}\mathrm{horizontal}\mathrm{line}\mathrm{passing}\mathrm{through}\mathrm{the}\mathrm{point}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{curve} \\ \mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}},\mathrm{corresponding}\mathrm{to}\mathrm{x}-\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{b}. \\ \mathrm{Plotting}\mathrm{graph}\mathrm{using}\mathrm{these}\mathrm{facts}: \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{combined}\mathrm{region}.\mathrm{Rotate}\mathrm{it}\mathrm{around}\mathrm{the}\mathrm{x}-\mathrm{axis}.\mathrm{This}\mathrm{will}\mathrm{form}\mathrm{a}\mathrm{solid} \\ \mathrm{of}\mathrm{disk}\mathrm{shape},\mathrm{with}\mathrm{radius}\mathrm{of}\sqrt{\mathrm{b}}\mathrm{units}\mathrm{and}\mathrm{thickness}\mathrm{of}\mathrm{b}\mathrm{units}. \\ \mathrm{Volume}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{disk}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{by}\mathrm{the}\mathrm{relation}\mathrm{V}={\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{t},\mathrm{where}\mathrm{r}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{radius}\mathrm{of}\mathrm{disk}\mathrm{and} \\ \mathrm{t}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{thickness}\mathrm{of}\mathrm{disk}. \\ \mathrm{Use}\mathrm{this}\mathrm{relation}\mathrm{to}\mathrm{determine}\mathrm{the}\mathrm{volume}\mathrm{of}\mathrm{disk}\mathrm{formed}\mathrm{by}\mathrm{the}\mathrm{rotating}\mathrm{the}\mathrm{combined} \\ \mathrm{region}\mathrm{around}\mathrm{x}-\mathrm{axis}. \\ \mathrm{V}=\mathrm{\pi }{\left(\sqrt{\mathrm{b}}\right)}^2\mathrm{b} \\ \mathrm{V}={\mathrm{\pi b}}^2 \\ \mathrm{Subtract}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{volume}\mathrm{of}\mathrm{soild}\mathrm{formed}\mathrm{by}\mathrm{rotating}\mathrm{the}\mathrm{region}\mathrm{between}\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{and} \\ \mathrm{y}=0\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{interval}[0,\mathrm{b}],\mathrm{which}\mathrm{is}\mathrm{known}\mathrm{to}\mathrm{be}8\mathrm{\pi },\mathrm{from}\mathrm{this}\mathrm{total}\mathrm{volume}.\mathrm{This}\mathrm{will}\mathrm{give} \\ \mathrm{the}\mathrm{volume}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{solid}\mathrm{formed}\mathrm{by}\mathrm{rotating}\mathrm{the}\mathrm{region}\mathrm{bounded}\mathrm{by}\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x},}\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{b}}\mathrm{and}\mathrm{x}=0 \\ \mathrm{V}={\mathrm{\pi b}}^2-8\mathrm{\pi } \\ \mathrm{V}=\mathrm{\pi }({\mathrm{b}}^2-8) \end{gathered}$$