$$\begin{gathered} \mathrm{For}\mathrm{each}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{and}\mathrm{interval}[\mathrm{a},\mathrm{b}]\mathrm{in}\mathrm{Exercises}34–38, \\ \mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{possible}\mathrm{to}\mathrm{find}\mathrm{the}\mathrm{exact}\mathrm{signed}\mathrm{area}\mathrm{between}\mathrm{the}\mathrm{graph}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{and}\mathrm{the}\mathrm{x}-\mathrm{axis}\mathrm{on}[\mathrm{a},\mathrm{b}] \\ \mathrm{geometrically}\mathrm{by}\mathrm{using}\mathrm{the}\mathrm{areas}\mathrm{of}\mathrm{circles},\mathrm{triangles},\mathrm{and}\mathrm{rectangles}.\mathrm{Find}\mathrm{this}\mathrm{exact}\mathrm{area}, \\ \mathrm{and}\mathrm{then}\mathrm{calculate}\mathrm{the}\mathrm{left},\mathrm{right},\mathrm{midpoint},\mathrm{upper},\mathrm{lower},\mathrm{and}\mathrm{trapezoid}\mathrm{sums}\mathrm{with}\mathrm{n}=4. \\ \mathrm{Which}\mathrm{approximation}\mathrm{rule}\mathrm{is}\mathrm{most}\mathrm{accurate}? \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=3\mathrm{x}+1,[\mathrm{a},\mathrm{b}]=[3,5] \end{gathered}$$.

$\mathrm{The}\mathrm{function}\mathrm{is}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=3\mathrm{x}+1\mathrm{and}\mathrm{the}\mathrm{interval}\mathrm{is}[\mathrm{a},\mathrm{b}]=[3,5].$

$$\begin{gathered} \mathrm{Enter}\mathrm{the}\mathrm{function}(\boxed{3\mathrm{x}+5},\mathrm{X},3,5) \\ \mathrm{Press}\mathrm{ENTER} \\ \mathrm{The}\mathrm{display}\mathrm{is}\mathrm{shown}\mathrm{below}, \end{gathered}$$

Therefore ,the exact sum is$\boxed{26}$.

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{left}-\mathrm{sum}\mathrm{defined}\mathrm{for}\mathrm{n}\mathrm{rectangles}\mathrm{on}[\mathrm{a},\mathrm{b}]\mathrm{is}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}}\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{k}-1}\right)∆\mathrm{x}. \\ \mathrm{Where},∆\mathrm{x}=\frac{\mathrm{b}-\mathrm{a}}{\mathrm{n}},{\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}=\mathrm{a}+\mathrm{k}∆\mathrm{x}. \\ \mathrm{Now},∆\mathrm{x}=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}. \\ \mathrm{So},{\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}=3+\mathrm{k}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{6+\mathrm{k}}{2}. \\ \mathrm{In}\mathrm{the}\mathrm{left}\mathrm{sum},{\mathrm{x}}_{\mathrm{k}-1},\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{leftmost}\mathrm{point}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{interval}[{\mathrm{x}}_{\mathrm{k}-1,}{\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}]. \\ \mathrm{So},{\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}=\frac{5+\mathrm{k}}{2}. \\ \mathrm{The}\mathrm{left}\mathrm{sum}\mathrm{is}, \\ \sum _{\mathrm{k}=1}^4\left(3\left(\frac{5+\mathrm{k}}{2}\right)+1\right)\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\sum _{\mathrm{k}=1}^4\left(\frac{17+3\mathrm{k}}{2}\right) \\ =\frac{1}{2}\left(\frac{17+3}{2}+\frac{17+6}{2}+\frac{17+9}{2}+\frac{17+12}{2}\right)=24.5 \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{left}\mathrm{sum}\mathrm{is}\boxed{24.5}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{Right}-\mathrm{sum}\mathrm{defined}\mathrm{for}\mathrm{n}\mathrm{rectangles}\mathrm{on}[\mathrm{a},\mathrm{b}]\mathrm{is}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}}\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}\right)∆\mathrm{x}. \\ \mathrm{Where},∆\mathrm{x}=\frac{\mathrm{b}-\mathrm{a}}{\mathrm{n}},{\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}=\mathrm{a}+\mathrm{k}∆\mathrm{x}. \\ \mathrm{Now},∆\mathrm{x}=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}. \\ \mathrm{So},{\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}=3+\mathrm{k}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{6+\mathrm{k}}{2}. \\ \mathrm{The}\mathrm{right}\mathrm{sum}\mathrm{is}, \\ \sum _{\mathrm{k}=1}^4\left(3\left(\frac{6+\mathrm{k}}{2}\right)+1\right)\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\sum _{\mathrm{k}=1}^4\left(\frac{20+3\mathrm{k}}{2}\right) \\ =\frac{1}{2}\left(\frac{20+3}{2}+\frac{20+6}{2}+\frac{20+9}{2}+\frac{20+12}{2}\right)=27.5 \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{right}\mathrm{sum}\mathrm{is}\boxed{27.5}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{trapezoid}\mathrm{sum}\mathrm{is}, \\ \frac{24.5+27.5}{2}=26. \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{trapezoid}\mathrm{sum}\mathrm{is}\boxed{26}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{midpoint}\mathrm{sum}\mathrm{defined}\mathrm{for}\mathrm{n}\mathrm{rectangles}\mathrm{on}[\mathrm{a},\mathrm{b}]\mathrm{is}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}}\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}^{*}\right)∆\mathrm{x}. \\ \mathrm{Where},∆\mathrm{x}=\frac{\mathrm{b}-\mathrm{a}}{\mathrm{n}},{\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}^{*}=\frac{{\mathrm{x}}_{\mathrm{k}-1}+{\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}}{2}. \\ \mathrm{Now},\mathrm{the}\mathrm{midpoint}\mathrm{term}\mathrm{is}{\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}^{*}=\frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{k}+6}{2}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{k}+5}{2}}}{2}=\frac{2\mathrm{k}+11}{4}. \\ \mathrm{The}\mathrm{midpoint}\mathrm{sum}\mathrm{is}, \\ \sum _{\mathrm{k}=1}^4\left(3\left(\frac{11+2\mathrm{k}}{2}\right)+1\right)\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\sum _{\mathrm{k}=1}^4\left(\frac{35+6\mathrm{k}}{4}\right) \\ =\frac{1}{2}\left(\frac{35+6}{2}+\frac{35+12}{2}+\frac{35+18}{2}+\frac{35+24}{2}\right)=26 \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}midpoint\mathrm{sum}\mathrm{is}\boxed{26}. \end{gathered}$$