$$\begin{gathered} \mathrm{Extrema}:\mathrm{Find}\mathrm{the}\mathrm{local}\mathrm{maxima},\mathrm{local}\mathrm{minima},\mathrm{and}\mathrm{saddle}\mathrm{points}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{functions} \\ \mathrm{f}(\mathrm{x},\mathrm{y})={\mathrm{x}}^4+{\mathrm{y}}^4+4\mathrm{xy} \end{gathered}$$

The given function is$\mathrm{f}(\mathrm{x},\mathrm{y})={\mathrm{x}}^4+{\mathrm{y}}^4+4\mathrm{xy}$

$$\begin{gathered} \mathrm{Given}\mathrm{function}\mathrm{is}\mathrm{f}(\mathrm{x},\mathrm{y})={\mathrm{x}}^4+{\mathrm{y}}^4+4\mathrm{xy},\mathrm{which}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{polynomial}\mathrm{and}\mathrm{hence}\mathrm{differentiable}. \\ \mathrm{The}\mathrm{gradient}\mathrm{of}\mathrm{this}\mathrm{function}\mathrm{is} \\ \nabla \mathrm{f}(\mathrm{x},\mathrm{y})=\frac{\partial \mathrm{f}}{\partial \mathrm{x}}\mathrm{i}+\frac{\partial \mathrm{f}}{\partial \mathrm{y}}\mathrm{j}=(4{\mathrm{x}}^3+4\mathrm{y})\mathrm{i}+(4{\mathrm{y}}^3+4\mathrm{x})\mathrm{j} \\ \mathrm{At}\mathrm{the}\mathrm{critical}\mathrm{points}\mathrm{the}\mathrm{gradient}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{function}\mathrm{vanishes},\mathrm{that}\mathrm{is}\nabla \mathrm{f}(\mathrm{x},\mathrm{y})=0. \\ \mathrm{from}\mathrm{the}\mathrm{above}\mathrm{the}\mathrm{critical}\mathrm{points}\mathrm{are}\mathrm{given}\mathrm{by}4{\mathrm{x}}^3+4\mathrm{y}=0...\left(1\right)\mathrm{and}4{\mathrm{y}}^3+4\mathrm{x}=0.....\left(2\right) \\ \mathrm{from}\left(1\right)\mathrm{y}=-{\mathrm{x}}^3,\mathrm{use}\mathrm{in}\left(2\right)\mathrm{gives} \\ 4{(-{\mathrm{x}}^3)}^3+4\mathrm{x}=0 \\ \Rightarrow \mathrm{x}-{\mathrm{x}}^9=0\mathrm{simplifying} \\ \Rightarrow \mathrm{x}(1-\mathrm{x})(1+\mathrm{x})(1+{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^6)=0\mathrm{factorising} \\ \mathrm{So},\mathrm{the}\mathrm{values}\mathrm{of}\mathrm{x}\mathrm{are}\mathrm{x}=0,1,-1 \\ \mathrm{when}\mathrm{x}=0,\mathrm{y}=0\mathrm{when}\mathrm{x}=1,\mathrm{y}=-1\mathrm{when}\mathrm{x}=-1,\mathrm{y}=1 \\ \mathrm{Solving}\mathrm{these},\mathrm{critical}\mathrm{point}\mathrm{as}(0,0),(1,-1),(-1,1). \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{Now}\mathrm{the}\mathrm{second}\mathrm{order}\mathrm{derivatives}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{are} \\ \frac{{\partial }^2\mathrm{f}}{\partial {\mathrm{x}}^2}=12{\mathrm{x}}^2,\frac{{\partial }^2\mathrm{f}}{\partial {\mathrm{y}}^2}=12{\mathrm{y}}^2,\frac{{\partial }^2\mathrm{f}}{\partial {\mathrm{y}}^{}\partial \mathrm{x}}=4. \\ \mathrm{Hence}\mathrm{the}\mathrm{discriminate}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{is} \\ {\mathrm{H}}_{\mathrm{f}}(\mathrm{x},\mathrm{y})=\frac{{\partial }^2\mathrm{f}}{\partial {\mathrm{x}}^2}\frac{{\partial }^2\mathrm{f}}{\partial {\mathrm{y}}^2}-{\left(\frac{{\partial }^2\mathrm{f}}{\partial {\mathrm{y}}^{}\partial \mathrm{x}}\right)}^2=(12{\mathrm{x}}^2)(12{\mathrm{y}}^2)-{\left(4\right)}^2=144{\mathrm{x}}^2{\mathrm{y}}^2-16. \\ \mathrm{At}(0,0),{\mathrm{H}}_{\mathrm{f}}(0,0)=-16<0 \\ \mathrm{So}\mathrm{the}\mathrm{critical}\mathrm{point}\boxed{(0,0)}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{saddle}\mathrm{point}. \\ \mathrm{At}(1,-1),{\mathrm{H}}_{\mathrm{f}}(1,-1)=128>0 \\ \mathrm{also}\mathrm{at}(1,-1)\frac{{\partial }^2\mathrm{f}}{\partial {\mathrm{x}}^2}=12>0,\frac{{\partial }^2\mathrm{f}}{\partial {\mathrm{y}}^2}=12>0 \\ \mathrm{Therefore}\mathrm{the}\mathrm{critical}\mathrm{point}\mathrm{is}\boxed{\left(1,-1\right)}\mathrm{is}\mathrm{local}\mathrm{minima}. \\ \mathrm{At}(-1,1),{\mathrm{H}}_{\mathrm{f}}(-1,1)=128>0 \\ \mathrm{also}\mathrm{at}(-1,1)\frac{{\partial }^2\mathrm{f}}{\partial {\mathrm{x}}^2}=12>0,\frac{{\partial }^2\mathrm{f}}{\partial {\mathrm{y}}^2}=12>0 \\ \mathrm{Therefore}\mathrm{the}\mathrm{critical}\mathrm{point}\mathrm{is}\boxed{(-1,1)}\mathrm{is}\mathrm{local}\mathrm{minima}. \end{gathered}$$