Das vektorprodukt \(\vec{a} \times \vec{b}\) zweier Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aus dem Anschauungsraum kann bekanntlich formal in Form einer 3-reihigen Determinante dargestellt werden (vgl hierzu Band 1, Abschnit II.3.4) \({ }^{29}\) : $$ \vec{a} \times \vec{b}=\left|\begin{array}{lll} \vec{e}_{x} & \vec{e}_{y} & \vec{e}_{z} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{array}\right| $$ Berechnen Sie das Drehmoment \(\vec{M}=\vec{r} \times \vec{F}\) für \(\vec{r}=\left(\begin{array}{r}1 \\ -2 \\ 5\end{array}\right) \mathrm{m}\) und \(\vec{F}=\left(\begin{array}{l}10 \\ 20 \\ 50\end{array}\right) \mathrm{N}\)

Das Kreuzprodukt, auch bekannt als Vektorprodukt, ist eine mathematische Operation, die zwei Vektoren in einem dreidimensionalen Vektorraum zu einem neuen Vektor kombiniert. Das Kreuzprodukt wird oft verwendet, um Größen wie das Drehmoment in der Physik darzustellen. Der resultierende Vektor steht senkrecht auf der Ebene, die durch die beiden ursprünglichen Vektoren aufgespannt wird. Dies bedeutet, dass das Kreuzprodukt uns hilft, eine dritte Dimension zu visualisieren und dreidimensionale Probleme zu lösen. Die Formel für das Kreuzprodukt \(\text{\(\vec{a} \times \vec{b}\)}\) wird durch die Determinante der Matrix bestimmt, die die Einheitsvektoren und die Komponenten der beiden Ausgangsvektoren enthält.

Eine Determinante ist eine spezielle Zahl, die für eine quadratische Matrix definiert ist und viele nützliche Eigenschaften in der linearen Algebra und Geometrie besitzt. Sie wird verwendet, um die Lösbarkeit von Gleichungssystemen zu überprüfen, die Inverse einer Matrix zu berechnen und bei der Berechnung des Kreuzprodukts. Um die Determinante einer 3x3-Matrix zu berechnen, nutzen wir die Methode der Kofaktor-Expansion. Dabei wird die Determinante in kleinere, einfachere 2x2-Determinanten aufgeteilt.

Die Berechnung dieser 2x2-Determinanten hilft uns, die endgültigen Werte für das Kreuzprodukt zu finden. Die allgemeine Form einer 3x3-Determinante lautet:

\(\text{\(\left|\begin{array}{lll} e_{x} & e_{y} & e_{z} \ a_{x} & a_{y} & a_{z} \ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{array}\right|\)}\).

Das Drehmoment ist eine physikalische Größe, die das Produkt aus einer Kraft \(\text{\(\vec{F}\)}\) und ihrem Abstand \(\text{\(\vec{r}\)}\) zu einem Drehpunkt darstellt. Das Drehmoment gibt an, wie stark die Kraft eine Drehung um diesen Punkt verursacht.

In mathematischer Form ist das Drehmoment \(\text{\(\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}\)}\). Dies bedeutet, dass das Drehmoment durch das Kreuzprodukt des Abstandsvektors und des Kraftvektors berechnet wird.

Im Step-by-Step Beispiel:

• Berechnen wir zunächst die 3x3-Determinante der Vektoren \(\text{\(\vec{r}\)}\) und \(\text{\(\vec{F}\)}\).
• Das Ergebnis dieser Berechnung gibt uns einen neuen Vektor, der die Richtung und Größe des Drehmoments darstellt.

Ein Vektorraum ist eine mathematische Struktur, die aus Vektoren besteht, die durch Vektoraddition und Skalierung mit Skalaren kombiniert werden können. Diese Struktur ist Grundlage für viele Bereiche der Mathematik und Physik.

Ein dreidimensionaler Vektorraum umfasst alle Vektoren, die durch drei Komponenten beschrieben werden können.

Im Kontext des Kreuzprodukts und des Drehmoments arbeiten wir innerhalb eines dreidimensionalen Vektorraums, wo jede physikalische Größe durch drei Zahlenkomponenten repräsentiert wird.
Das Verständnis von Vektorräumen hilft uns dabei, komplexe räumliche Beziehungen und Interaktionen zu modellieren und zu berechnen.

• Vektorräume helfen uns, unterschiedliche physikalische und mathematische Problemstellungen zu lösen.
• Grundoperationen wie Addition und Multiplikation in Vektorräumen erlauben lineare Transformationen und ermöglichen die Berechnung von Größen wie dem Kreuzprodukt.