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Chapter 3: Problem 1

Berechnen Sie mit den komplexen Zahlen \(z_{1}=-4 \mathrm{j}, \quad z_{2}=3-2 \mathrm{j}, \quad z_{3}=-1+\mathrm{j}\) die folgenden Terme: a) \(z_{1}-2 z_{2}+3 z_{3}\) b) \(\quad 2 z_{1} \cdot z_{2}^{*}\) c) \(\frac{z_{1}^{*} \cdot z_{2}}{z_{3}}\) d) \(z_{1}\left(2 z_{2}^{*}-z_{1}\right)+z_{3}^{*}\) e) \(\frac{z_{1}-z_{2}^{*}}{3 z_{3}^{*}}\) f) \(\frac{z_{1}+z_{3}^{*}}{z_{2}^{*} \cdot z_{3}}\)

Short Answer

Expert verified
a)-9-5j, b)*-24*j c*d* z_{1}(2z_{2}^{*} - z_{1}) + z_{3}^{ sum = 2j-; -1-j*, completing (2/4}{4 steps - 5.j.}

Step by step solution

01

Given Terms

Define the given complex numbers and their conjugates: \(z_{1}=-4 \, \text{j}\), \(z_{2}=3-2 \, \text{j}\), \(z_{3}=-1+ \, \text{j}\), and their conjugates \(z_{2}^{*} = 3 + 2 \, \text{j}\), \(z_{1}^{*} = 4 \, \text{j}\), \(z_{3}^{*}=-1 - \, \text{j}\).
02

Solve (a) \(z_{1} - 2z_{2} + 3z_{3}\)

Calculate each part: \(z_{1} = -4 \, \text{j}\), \(2z_{2} = 2(3-2 \, \text{j}) = 6-4 \, \text{j}\), \(3z_{3} = 3(-1 + \, \text{j}) = -3 + 3 \, \text{j}\).Combine the results: \(z_{1} - 2z_{2} + 3z_{3} = -4 \, \text{j} - (6 - 4 \, \text{j}) + (-3 + 3 \, \text{j}) = -6 - 4 \, \text{j} - 3 + 3 \, \text{j} - 4 \, \text{j} = -9 - 5 \, \text{j}\).
03

Solve (b) \(2z_{1} \, \text{Re}( z_{2})\)

Calculate each part: \( 2z_{1} = 2(-4 \, \text{j}) = -8 \, \text{j}\), \( \text{Re}(z_2) = 3\).Combine the results: \( 2z_{1} \text{Re}(z_{2}) = -8 \, \text{j} * 3 = -24 \, j\).
04

Solve (c) \(\frac{z_{1}^{*}}{z_{3}}\)

Calculate each part: \(z_{1}^{*} = 4 \, \text{j}\), \(z_{3} = -1 + \, \text{j}\).Combine the results: \(\frac{z_{1}^{*}}{z_{3}} = \frac{4 \, \text{j}}{-1 + \, \text{j}}\). Rationalize the denominator: \( = \frac{4 \, \text{j}(-1 - \, \text{j})}{(-1+\text{j})(-1-\text{j})} = \frac{4 \, \text{j} - 4}{2} = 2 \text{j} - 2\).
05

Solve (d) \(z_{1}(2z_{2}^{*} - z_{1}) + z_{3}^{*}\)

Calculate each part: \( 2z_{2}^{*}=2(3+2 \, \text{j})=6+4 \, \text{j}\),\( 2z_{2}^{*}-z_{1}=6+4 \, \text{j}-(-4 \, \text{j})=6+8 \, \text{j}\), \( z_{1}(6+8 \, \text{j})=-4 \, \text{j}(6+8 \, \text{j})=-24-32 \, \text{j}^{2}\), \( z_{3}^{*}=-1 - \, \text{j}\).Combine the results: \(z_{1}(2z_{2}^{*} - z_{1}) + z_{3}^{*} = -32 \, \text{j} + 24 \, \text{j} - \text(-1+j)\)
06

Solve (e) \(\frac{z_{1} - z_{2}^{*}}{3z_{3}^{*}}\)

Calculate each part: \(z_{1} - z_{2}^{*}= -4 \, \text{j}-(3+2 \, \text{-j}) = -7 -4 \,\text{j}\), \(\frac { -7 + 6}{- 9{\sqrt {1)}}} =6=-2 \, \text{ it's -1}\).
07

Solve (f) \(\frac{ z_{ 1}+ (\bar{ z_{3}}}{z_{3}^{\frac}{3}}\)

Calculate each part: \(-4 \text{4-j *(-1+ 2j =- 8 and j 2;+ = so}8\; and solve (4-8) -3, increment and rearrange 4*3=j}\).

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Key Concepts

These are the key concepts you need to understand to accurately answer the question.

Komplexe Arithmetik
Komplexe Arithmetik bedeutet, dass wir mit komplexen Zahlen auf ähnliche Weise wie mit reellen Zahlen rechnen, jedoch gibt es gewisse Unterschiede, die berücksichtigt werden müssen. Komplexe Zahlen haben die Form: \( a + bi \), wobei \(a\) der Realteil und \(bi\) der Imaginärteil ist. Hier wird gerechnet:

Zum Beispiel:

  • Addition: \((a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i \)
  • Subtraktion: \((a + bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d)i \)
  • Multiplikation: \((a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i \)
  • Division: \( \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2} \)

Im gegebenen Beispiel ersetzen wir \( z_1 = -4j \), \( z_2 = 3 - 2j \) und \( z_3 = -1 + j \).
Berechnen wir den Term (a) so:
\(z_{1} - 2z_{2} + 3z_{3} \)
Ergebnisse aus jeder Operation:

  • \(z_{1} = -4j \)
  • \(2z_{2} = 2(3-2j) = 6-4j \)
  • \(3z_{3} = 3(-1 + j) = -3 + 3j \)
  • Kombiniert ergibt sich:
    \(z_{1} - 2z_{2} + 3z_{3} = -4j - (6 - 4j) + (-3 + 3j) = -9 - 5j \)
Komplexe Konjugation
Die komplexe Konjugation ist ein mächtiges Werkzeug in der komplexen Arithmetik. Wenn wir eine komplexe Zahl \( a + bi \) haben, dann ist ihre konjugierte Zahl \( a - bi \). Diese Konjugation hilft oft dabei, komplexe Ausdrücke zu vereinfachen, besonders bei Division:

Ein Beispiel wäre: \((3 - 2j)^* = 3 + 2j \)

Im gegebenen Beispiel haben wir:

  • \(z_{1}^{*} = 4j \)
  • \(z_{2}^{*} = 3 + 2j \)
  • \(z_{3}^{*} = -1 - j \)
Schauen wir uns Term (c) an: \( \frac{z_{1}^{*}}{z_{3}} \)
Ergebnisse aus jeder Operation:

  • \(z_{1}^{*} = 4j \)
  • \(z_{3} = -1 + j \)
Um weiterzurechnen, rationalisieren wir den Bruch:
\[\frac{4j}{-1+j} \times \frac{-1 - j}{-1 - j}= \frac{4j(-1 - j)}{(-1+j)(-1-j)} = \frac{4j - 4}{2} = 2j - 2 \].Somit ist die Berechnung abgeschlossen.
Mathematische Terme berechnen
Das Berechnen mathematischer Terme mit komplexen Zahlen kann herausfordernd sein, aber wenn man die Grundlagen versteht, wird es überschaubar. Es bedeutet, dass wir algebraische Operationen durchführen und gegebenenfalls auch die Konjugation verwenden.

Nehmen wir Term (d) aus dem Beispiel: \(z_{1}(2z_{2}^{*} - z_{1}) + z_{3}^{*}\)
Schrittweise Berechnung:

  • \( 2z_{2}^{*}=2(3+2j) = 6+4j \)
  • \((2z_{2}^{*}-z_{1}) \text{ wird zu } (6 + 4j - (-4j)) \text{= } 6 + 8j\)
  • \( \text{Dann: } z_{1}(6 + 8j) = -4j(6 + 8j) = -24 - 32j^2 = -24 + 32 \text{, da } j^2 = -1 \)
  • \(z_{3}^{*} = -1 - j \)
Kombiniert zeigt sich:
\(-24 + 32 - 1 - j = 7 - j \).

Mit diesen Schritten können wir alle anderen Terme analog berechnen, indem wir die beschriebenen Regeln und Konzepte anwenden.

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Mit dem komplexen Zeiger \(\underline{z}=1+2 \mathrm{j}\) werden folgende Operationen durchgeführt: a) \(j \cdot z\) b) \(\quad \underline{z}^{*}\) c) \(\frac{\pi}{j}\) d) \(2.2\) e) \(\mathrm{e}^{\mathrm{J} 30^{\circ}} \cdot z\) f) \(|z|\) g) \(z^{2}\) Stellen Sie diese Operationen in der GauBschen Zahlenebene bildlich dar. Was bedeuten sie geometrisch?

Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen durch Bildpunkte in der GauBschen Zahlenebene symbolisch dar: $$ \begin{array}{lll} z_{1}=3-4 j, & z_{2}=-2+3 j, \quad z_{3}=-5-4 j, & z_{4}=6. \\ z_{5}=3+5 j, & x_{6}=-1-2 j, \quad z_{7}=-4+j, & z_{8}=-3 j \end{array} $$

Stellen Sie die folgenden Kosinusschwingungen als komplexe Sinuszeiger dar: a) \(y_{1}=3 \cdot \cos (\omega t)\) b) \(y_{2}=-4 \cdot \cos \left(2 t-\frac{\pi}{4}\right)\) c) \(y_{3}=5 \cdot \cos (t+1)\) d) \(y_{4}=3 \cdot \cos \left(\pi t+\frac{2 \pi}{3}\right)\) Anleitung: Bringen Sie die Kosinusschwingungen zunãchst in die Sinusform.

Berechnen Sie die folgenden Wurzeln: a) \(\sqrt[2]{4-2 j}\) b) \(\sqrt[3]{81 \cdot e^{-j 190^{-1}}}\) c) \(\sqrt[6]{-3+8 \mathrm{j}}\)

Leiten Sie aus der Formel von Moivre und unter Verwendung der Binomischen Formel die folgenden trigonometrischen Beziehungen her: $$ \begin{aligned} &\sin (3 \varphi)=3 \cdot \sin \varphi-4 \cdot \sin ^{3} \varphi \\ &\cos (3 \varphi)=4 \cdot \cos ^{3} \varphi-3 \cdot \cos \varphi \end{aligned} $$ Anleitung: Mit \(z=\cos \varphi+j-\sin \varphi\) lautet die Formel von Moivre: $$ (\cos \varphi+j \cdot \sin \varphi)^{n}=\cos (n \varphi)+j \cdot \sin (n \varphi) $$
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