Der Raumpunkt \(P=(x ; y ; z)\) besitzt vom Koordinatenursprung den Abstand \(r(x ; y ; z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\). Wie ändert sich der Abstand des Punktes \(A=(1: 2 ; 0)\), wenn man ihn in den Punkt \(B=(0,9 ; 2,2 ;-0,1)\) verschiebt? Anleitung: Nãherungsweise Berechnung über das totale Differential sowie exakte Bercchnung.

Das totale Differential ist ein hilfreiches mathematisches Werkzeug, um Änderungen einer Funktion zu approximieren. Für viele Funktionen, die von mehreren Variablen abhängen, wie etwa der Abstand im dreidimensionalen Raum, kann das totale Differential schnelle und nützliche Annäherungen bieten. Es betrachtet die partiellen Ableitungen der Funktion, gewichtet diese mit den kleinen Änderungen der jeweiligen Variablen und summiert die Ergebnisse für eine Gesamtnäherung.

In unserem Beispiel ist der Abstand eine Funktion der Koordinaten \(x, y, z\). Wenn sich die Koordinaten minimal ändern, dann approximiert das totale Differential die entsprechende Änderung des Abstands. Man berechnet die partiellen Ableitungen der Abstandsformel \(r(x, y, z) = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\): \[

\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}, \ \frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r}, \ \frac{\partial r}{\partial z} = \frac{z}{r}\

\] Durch Multiplizieren der resultierenden Werte mit den entsprechenden Änderungen in den Koordinaten \(dx, dy, dz\) erhält man die Näherung \(dr\) der Veränderung des Abstands:

\[ dr \approx \frac{x_0}{r(A)}dx + \frac{y_0}{r(A)}dy + \frac{z_0}{r(A)}dz \]

Diese Methode ist besonders nützlich, wenn kleine Änderungen oder Verschiebungen vorliegen und man eine schnelle Antwort benötigt.

Die exakte Berechnung des Abstands ist notwendig, um präzise Ergebnisse zu erhalten. Sie liefert die genaue Veränderung der Abstände, was besonders wichtig ist, wenn Fehler oder Annahmen minimiert werden sollen. Im Beispiel werden die genauen Abstände der Punkte A und B durch die Formel \( r(x,y,z) = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \) ermittelt.

Für Punkt A: \[ r(A) = \sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{5} \] Und für Punkt B: \[ r(B) = \sqrt{0.9^2 + 2.2^2 + (-0.1)^2} = \sqrt{5.66} \]

Die Differenz zwischen diesen beiden Werten ergibt die genaue Änderung des Abstands:

\[ \Delta r = r(B) - r(A) = \sqrt{5.66} - \sqrt{5} \approx 2.379 - 2.236 = 0.143 \]

Dies zeigt präzise, wie stark sich der Abstand durch die Verschiebung von Punkt A nach Punkt B geändert hat. Der Vorteil der exakten Berechnung ist, dass man sich auf diese Zahlen verlassen kann und sie, im Gegensatz zu Näherungen, keine nennenswerten Fehler enthalten.

Ein Koordinatensystem ist ein Bezugssystem, in dem die Position eines Punktes durch Koordinaten beschrieben wird. Im dreidimensionalen Raum verwendet man üblicherweise ein kartesisches Koordinatensystem, bei dem die Position eines Punktes durch drei Werte \(x, y, z\) angegeben wird.

Jeder dieser Werte repräsentiert eine Distanz entlang einer Achse:

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