Die Schwingungsdauer \(T\) eines unged?mpften elektromagnetischen Schwingkreises l?Bt sich aus der Induktivit?t \(L\) und der Kapazität \(C\) nach der Formel \(T=2 \pi \sqrt{L C}\) bestimmen. Berechnen Sie mit Hilfe des vollstãndigen Differentials die prozentuale ?nderung von \(T\), wenn die Induktivit?t um \(5 \%\) verkleinert und die Kapazität gleichzeitig um \(3 \%\) vergrößert wird. Anleitung: Gehen Sie von den Werten \(L_{0}\) und \(C_{0}\) aus und berechnen Sie zunächst die absolute Änderung von \(T\).

Differentialrechnung, oder Differential Calculus, befasst sich mit der Untersuchung von Änderungsraten. Es bietet mächtige Werkzeuge, um die empfindlichkeit einer Funktion hinsichtlich ihrer Variablen zu bestimmen. Im Kontext unseres Schwingkreis-Problems nutzen wir die Differentialrechnung, um zu analysieren, wie kleine Änderungen in den Parametern Induktivität și Kapazität die Schwingungsdauer beeinflussen.

Die Hauptidee hier war, das vollständige Differential der Funktion für T, also T = 2π√(LC), zu finden. Wir haben die Ableitungen von f(L, C) bezüglich L und C berechnet, um zu verstehen, wie sich T ändert, wenn sich L und C ändern. Diese Ableitungen heißen partielle Ableitungen und sind sehr nützlich, um die Wirkung jeder einzelnen Variablen auf die Gesamtänderung der Funktion zu isolieren.

Im nächsten Schritt haben wir das Gesamt-differential der Schwingungsdauer geschrieben und ausgedrückt als dT. Dieses dT gibt uns eine kombinierte Aussage über die Änderungen in L und C.

Induktivität und Kapazität sind zwei fundamentale Größen in einem elektromagnetischen Schwingkreis.

• Induktivitӓt (L): Sie gibt an, wie stark Induktionswirkungen in einer Spule auftreten. Sie ist proportional zur Anzahl der Windungen und der magnetischen Durchlässigkeit des Kerns. L kann in Henry (H) gemessen werden.
• Kapazitӓt (C): Sie gibt die Fähigkeit eines Systems (wie eines Kondensators) an, elektrische Ladung zu speichern. Kapazität wird in Farad (F) gemessen. Sie hängt von der Geometrie der Platten und dem Abstand zwischen ihnen sowie vom Dielektrikum ab.

In unserem Problem haben sich L und C geändert: L wurde um 5% reduziert und C um 3% erhöht. Das Ziel war es herauszufinden, wie diese Änderungen die Schwingungsdauer T beeinflussen. Wir nutzten die Differentialrechnung, um die direkte Beziehung zwischen L, C und T zu analysieren und die prozentuale Änderung von T abzuleiten. Diese beiden Parameter, Induktivität und Kapazität, steuern die Schwingungseigenschaften des Schaltkreises.

Um den Einfluss der Parameteränderung auf die Schwingungsdauer zu beurteilen, verwenden wir prozentuale Änderungen.

Zuerst müssen wir herausfinden, was eine prozentuale Änderung in Variablen bedeutet:

• Eine prozentuale Abnahme von 5% für L bedeutet, dass die neue L durch L - 0.05L repräsentiert wird. Das heißt, der Wert von L hat sich um 0.05L verringert.
• Eine prozentuale Zunahme von 3% für C bedeutet, dass die neue C durch C + 0.03C dargestellt wird. Das heißt, der Wert von C hat sich um 0.03C erhöht.

Im Kontext der Formel für T wird diese Änderung dann durch die Ableitungen und das vollständige Differential analysiert. Wir setzten die prozentualen Änderungen von L und C in das Differential ein und vereinfachten es, um das Endresultat zu erhalten. Schließlich stellte sich heraus, dass sich die Schwingungsdauer T um -1% ändern würde.

Die Abnahme der Schwingungsdauer um 1% zeigt uns direkt, wie empfindlich das System auf Änderungen in der Induktivität und Kapazität reagiert.