Man linearisiere die Funktion \(z=5 \frac{y^{2}}{x}\) in der Umgebung von \(x=1, y=2\), berechne mit dieser Näherungsfunktion den Funktionswert an der Stelle \(x=1,1\), \(y=1,8\) und vergleiche diesen Wert mit dem exakten Funktionswert.

Die lineare Approximation ist eine Methode, um eine komplizierte Funktion durch eine einfachere Linie zu approximieren. Bei der näherungsweisen Darstellung komplizierter Funktionen verwenden wir oft ihre ersten partiellen Ableitungen. Diese Methode ist nützlich, wenn wir Funktionswerte in der Nähe eines bestimmten Punktes vorhersagen möchten.

Bei der linearen Approximation von Funktionen betrachten wir eine differenzierbare Funktion und nähern diese durch eine Tangente im lokalen Punkt an. Dadurch erhalten wir eine einfache Formel zur Berechnung von Funktionswerten in der Nähe des gewählten Punktes. Dies wird wie folgt formuliert:

\[ f(x,y) \approx f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(y - y_0) \]

Das bedeutet, wir ergänzen den Funktionswert am bekannten Punkt um die gewichteten Differenzen in x- und y-Richtung. In unserem Beispiel lautet die lineare Näherung der Funktion \( z = 5 \frac{y^2}{x} \) bei \( x = 1 \) und \( y = 2 \) wie folgt:
\[ z \approx 20 - 20(x-1) + 20(y-2) \]

Diese Formel erlaubt uns, den Funktionswert in der Nähe von \( x = 1 \) und \( y = 2 \) zu berechnen, ohne die komplizierte Originalfunktion zu verwenden.

Partielle Ableitungen spielen eine Schlüsselrolle in der linearen Approximation. Sie geben an, wie sich eine Funktion ändert, wenn wir eine ihrer Variablen ändern und die anderen konstant halten.

Für eine Funktion mit zwei Variablen, wie \( z = 5 \frac{y^2}{x} \), bestimmen wir zwei Ableitungen:
\[ \frac{\partial z}{\partial x} \quad und \frac{\partial z}{\partial y} \]

Indem wir die partiellen Ableitungen berechnen, erhalten wir die jeweiligen Änderungsraten der Funktion in Bezug auf jede Variable. In unserem Beispiel ergibt dies:

• \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{5y^2}{x^2}
• \frac{\partial z}{\partial y} = 10 \frac{y}{x}

Wir setzen dann den gegebenen Punkt \( x = 1 \) und \( y = 2 \) ein, um die Werte dieser Ableitungen am interessierenden Punkt zu finden:

• \frac{\partial z}{\partial x}|_{(1,2)} = -20
• \frac{\partial z}{\partial y}|_{(1,2)} = 20

Diese Ableitungen verwenden wir, um die lineare Approximation zu erstellen.

Bei der linearen Approximation ist die Fehleranalyse entscheidend, um die Genauigkeit unserer Näherung zu verstehen. Der Fehler gibt an, wie weit die approximierten Werte von den echten Funktionswerten entfernt sind.

In unserem Beispiel berechnen wir sowohl den approximierten als auch den genauen Wert der Funktion bei \( x = 1.1 \) und \( y = 1.8 \):

Der approximierte Wert durch die lineare Näherung lautet: \[ z_{approx} \approx 20 \cdot 1.8 - 20 \cdot 1.1 = 36 - 22 = 14 \]

Der exakte Wert der Originalfunktion ist: \[ z_{exact} = 5 \frac{(1.8)^2}{1.1} \approx 14.7273 \]

Der Näherungsfehler ist die Differenz zwischen den beiden Werten:

• Fehler \approx 14.7273 - 14 = 0.7273

Je kleiner der Fehler, desto genauer ist die lineare Näherung. Diese Fehleranalyse zeigt, dass unsere Näherung recht genau ist, obwohl sie eine gewisse Abweichung aufweist.

In der Praxis ist es wichtig, die Fehlerabschätzung zu berücksichtigen, insbesondere wenn Präzision von größter Bedeutung ist.