Bestimmen Sie die Extremwerte der Funktion \(z=x+y\) unter der Nebenbedingung \(x^{2}+y^{2}=1\)

Eine Nebenbedingung ist eine Voraussetzung, die in einer mathematischen Problemstellung zusätzlich zur Zielfunktion erfüllt sein muss. In diesem Beispiel lautet die Funktion: \( z = x + y \), und die Nebenbedingung lautet \[ x^{2} + y^{2} = 1 \]. Dies bedeutet, dass wir nur Punkte \( (x, y) \) berücksichtigen, die auf dem Einheitskreis liegen.

Die Idee ist, diese Nebenbedingung zu nutzen, um die Funktion zu vereinfachen. Durch das Lösen der Nebenbedingung, z.B. \( y \), können wir die Funktion nur mit einer Variablen ausdrücken und so die Extremwerte bestimmen.

Dies vereinfacht das Problem beträchtlich, da wir statt in zwei Dimensionen nur in einer arbeiten müssen.

Die Lagrange-Methoden dienen dazu, Extremwerte einer Funktion unter Berücksichtigung von Nebenbedingungen zu finden. Dazu setzt man den sogenannten Lagrange-Multiplikator \( \lambda\) ein. Der Lagrange-Multiplikator hilft dabei, die Nebenbedingungen in die Hauptfunktion zu integrieren.

Für unser Beispiel haben wir eine Hauptfunktion \( z = x + y \) und eine Nebenbedingung \[ x^2 + y^2 = 1 \]. Die Lagrange-Funktionsgleichung lautet:

\[ L(x, y, \lambda) = z + \lambda (x^2 + y^2 - 1) \].

Der nächste Schritt besteht dann darin, die partiellen Ableitungen von L bezüglich \( x \, y \) und \( \lambda \) zu berechnen und gleich Null zu setzen. Dies führt zu einem Gleichungssystem, dessen Lösung die gesuchten Extremwerte liefert.

Um die Extremwerte zu bestimmen, müssen wir die Grundlagen aus dem Schritt-für-Schritt-Lösungsprozess verstehen. Zunächst setzen wir die Nebenbedingung \[ y = \pm \sqrt{1 - x^2} \] in die Funktion \[ z = x + y \] ein.

Dadurch erhalten wir zwei Ausdrücke für \( z \):

• \[ z = x + \sqrt{1 - x^2} \]
• \[ z = x - \sqrt{1 - x^2} \]

Nun analysieren wir diese beiden Funktionen, um die Extremwerte zu finden. Bei \( x = 1 \) und \( y = 0 \), erreichen wir das Maximum \( z = 1 \). Bei \( x = -1 \) und \( y = 0 \), haben wir das Minimum \( z = -1 \).

Diese Extrema ergeben sich für beide Ausdrücke und stellen die gesuchten Extremwerte der ursprünglichen Funktion unter der gegebenen Nebenbedingung dar.

Mathematik ist ein essenzielles Werkzeug für Ingenieure, um komplexe Probleme zu lösen. Das Verständnis von Extremwertberechnungen mit Nebenbedingungen ist dabei besonders wichtig. Solche Methoden erlauben es Ingenieuren, Optimierungsprobleme in verschiedenen Feldern wie Mechanik, Elektronik oder Bauwesen zu lösen.

Zum Beispiel könnte ein Ingenieur, der eine Brücke entwirft, die Extremwerte der Materialspannungen berechnen müssen, um sicherzustellen, dass das Design die maximale Last sicher tragen kann.

Methoden wie die Anwendung von Lagrange-Multiplikatoren ermöglichen es, bei der Optimierung verschiedene Bedingungen zu berücksichtigen.

Fähigkeiten, die in der Mathematik für Ingenieure erlernt werden, sind somit direkt auf reale technische Probleme anwendbar und fördern das analytische Denken sowie die Problemlösungsfähigkeiten.