Gegeben ist die Funktion \(z(x ; y)=3 x y-\cos (x-y)+x^{3} y^{5}\) Zeigen Sie die Gleichheit der folgenden partiellen Ableitungen 2. bzw. 3. Ordnung (Satz von Schwarz): a) \(z_{x y}=z_{y x}\) b) \(z_{x x y}=z_{x y x}=z_{y x x}\)

Partielle Ableitungen sind ein zentraler Bestandteil der Differentialrechnung mehrerer Variablen. Sie beschreiben, wie sich eine Funktion ändert, wenn man eine ihrer Variablen ändert, während die anderen konstant bleiben. In unserem Beispiel haben wir die Funktion \( z(x, y) = 3xy - \cos(x - y) + x^3 y^5 \). Um die partielle Ableitung von \(z\) in Bezug auf \(x\) zu finden, betrachten wir nur die Änderungen in \(x\) und lassen \(y\) konstant.

• Berechnung von \( z_x \) (partielle Ableitung von \( z \) nach \( x \)):
  
  \[ z_x = \frac{\partial}{\partial x} [3xy - \cos(x - y) + x^3 y^5] = 3y + \sin(x - y) + 3x^2 y^5 \]
  


• Berechnung von \( z_y \) (partielle Ableitung von \( z \) nach \( y \)):
  
  \[ z_y = \frac{\partial}{\partial y} [3xy - \cos(x - y) + x^3 y^5] = 3x + \sin(x - y) + 5x^3 y^4 \]
  

Diese Ableitungen zeigen, wie sich die ursprüngliche Funktion ändert, wenn jeweils nur eine der Variablen geändert wird. Der Satz von Schwarz spielt eine große Rolle bei partiellen Ableitungen, da er die Gleichheit gemischter partieller Ableitungen unter bestimmten Bedingungen garantiert.

Zweite und dritte Ableitungen geben uns noch tiefere Einblicke, wie sich eine Funktion in Bezug auf mehrere Variablen ändert. Im Kontext unseres Beispiels benötigt man zweite und dritte gemischte Ableitungen.

Um die Gültigkeit des Satzes von Schwarz zu prüfen, haben wir die folgenden Schritte durchgeführt:

• Berechnung der zweiten gemischten Ableitungen:
  \[ z_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = 3 + \cos(x - y) + 15x^2 y^4 \]
  \[ z_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 3 + \cos(x - y) + 15x^2 y^4 \]
  Diese Ergebnisse sind gleich, was die Aussage \( z_{xy} = z_{yx} \) bestätigt.
  


• Berechnung der dritten gemischten Ableitungen:
  \[ z_{xxy} = \frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y} = -\sin(x - y) + 30x y^4 \]
  \[ z_{xyx} = \frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y \partial x} = -\sin(x - y) + 30x y^4 \]
  \[ z_{yxx} = \frac{\partial^3 z}{\partial y \partial x^2} = -\sin(x - y) + 30x y^4 \]
  Diese Ableitungen sind ebenfalls gleich, was die Aussage \( z_{xxy} = z_{xyx} = z_{yxx} \) bestätigt.
  

Die Gleichheit dieser höheren Ordnung Ableitungen ist durch den Satz von Schwarz garantiert, sofern die Funktion hinreichend glatt ist (d.h., die nötigen Ableitungen sind stetig).

Partial Differentialgleichungen (PDEs) sind Gleichungen, die die partiellen Ableitungen einer Funktion mit mehreren unabhängigen Variablen enthalten. Sie sind in der mathematischen Modellierung vieler physikalischer Phänomene unverzichtbar.

• PDEs können allgemein formuliert werden als:
  \[ F(x_1, x_2, ..., x_n, u, u_{x_1}, u_{x_2}, ..., u_{x_n}, u_{x_1 x_1}, ...) = 0 \]
  Dabei sind \(u\) die unbekannte Funktion und \(u_{x_i}\), \(u_{x_i x_j}\) usw. sind ihre partiellen Ableitungen.
  


• Ein bekanntes Beispiel ist die Wärmeleitungsgleichung:
  \[ u_t = \alpha abla^2 u \]
  Hier beschreibt \( u \) die Temperaturverteilung über Zeit und \( \abla^2 \) ist der Laplace-Operator, welcher die zweite Ableitung repräsentiert.
  


• Die Wellengleichung ist ein weiteres Beispiel:
  \[ u_{tt} = c^2 abla^2 u \]
  Diese PDE modelliert die Ausbreitung von Wellen.
  

PDEs erfordern oft spezielle Lösungstechniken und tiefes Verständnis der beteiligten Ableitungen. Die Erfüllung des Satzes von Schwarz bei gemischten Ableitungen ist entscheidend für das Verständnis und die Lösung dieser Gleichungen.