Zeigen Sie: Die Funktion \(u(x ; y ; z)=\frac{a}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}+b\) ist eine Lôsung der sog. Laplace-Gleichung \(\Delta u=u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}=0(a, b ;\) Konstante).

Partielle Ableitungen sind eine grundlegende Technik in der Mathematik, besonders bei der Untersuchung von Funktionen mehrerer Variablen. Anstatt die gesamte Funktion abzuleiten, differenzieren partielle Ableitungen die Funktion in Bezug auf eine Variable, während die anderen konstant gehalten werden.
In der Übung, um die Laplace-Gleichung zu lösen, müssen wir zuerst die partiellen Ableitungen berechnen. Dazu differenzieren wir die Funktion nach jeder ihrer Variablen. Für die Funktion \(u(x, y, z) = \frac{a}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} + b\), lautet die partielle Ableitung nach \(x\):
\(\frac{\partial u}{\partial x} = -a \frac{x}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}\).
Ähnliche Ableitungen werden für \(y\) und \(z\) durchgeführt.
Dies erlaubt uns, die Änderungsrate der Funktion in Richtung jeder Achse zu verstehen. Partielle Ableitungen sind essentiell für die Berechnung des Gradienten und anderer Differentialoperatoren wie dem Laplace-Operator.

Vektoranalysis ist das Studium von Vektorfeldern und ihren Eigenschaften. Es umfasst Konzepte wie Gradient, Divergenz und Rotation (Curl), die verwendet werden, um das Verhalten von Vektorfeldern in Raum und Zeit zu beschreiben.
Eins der wichtigsten Werkzeuge in der Vektoranalysis ist der Gradient. Für eine Funktion \(u(x, y, z)\) repräsentiert der Gradient \(abla u\) einen Vektor, der in die Richtung des größten Anstiegs der Funktion zeigt und dessen Länge die Änderungsrate in dieser Richtung misst. Der Gradient ist eine Sammlung der partiellen Ableitungen:
\(abla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right)\).
In unserem Beispiel hilft der Gradient, den Laplace-Operator zu definieren, welcher die Summe der zweiten partiellen Ableitungen ist. Das bedeutet, dass wir die zweite partielle Ableitungen nach \(x\), \(y\) und \(z\) berechnen und diese summieren:
\[\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\].

Der Laplacian ist eine zentrale Differenzialoperator in der Mathematik und Physik, welcher beschreibt, wie sich eine Funktion rund um einen Punkt ändert. Er ist definiert als die Summe der zweiten partiellen Ableitungen:
\(\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\).
Im Kontext der Laplace-Gleichung, suchen wir nach Funktionen, deren Laplacian null ist:
\(\Delta u = 0\).
Das ist der Fall, wenn die Funktion \(\frac{a}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} + b\) betrachtet wird. Durch die Berechnung der zweiten partiellen Ableitungen nach \(x\), \(y\) und \(z\) und deren Addition, sehen wir, dass die Summe null ergibt. Dieser Schritt im Beweis zeigt, dass die Funktion eine Lösung der Laplace-Gleichung ist. Lösungen der Laplace-Gleichung sind oft in der Physik zu finden, wie in der Elektrostatik, Fluidmechanik und Thermodynamik.
Der Laplace-Operator ist also nicht nur mathematisch interessant, sondern hat auch viele praktische Anwendungen.