Lösen Sie die folgenden Schwingungsgleichungen (freie ungedämpfte Schwingungen): a) \(\ddot{x}+4 x=0, \quad x(0)=2, \quad \dot{x}(0)=1\) b) \(\ddot{x}+x=0, \quad x(0)=1, \quad \dot{x}(0)=-2\) c) \(\quad \ddot{x}+a^{2} x=0, \quad x(0)=0, \quad \dot{x}(0)=v_{0} \quad(a \neq 0)\)

Short Answer

Expert verified
Part (a): \( x(t) = 2 \cos(2t) + \frac{1}{2} \sin(2t) \).Part (b): \( x(t) = \cos(t) - 2 \sin(t) \).Part (c): \( x(t) = \frac{v_0}{a} \sin(at) \).

Step by step solution

01

Identify the General Solution

For each differential equation of the form \( \ddot{x} + k^2 x = 0 \), the general solution is \( x(t) = A \cos(kt) + B \sin(kt) \).
02

Apply Initial Conditions for Part (a)

For the equation \( \ddot{x} + 4x = 0 \):1. The general solution is \( x(t) = A \cos(2t) + B \sin(2t) \).2. Use initial conditions \( x(0) = 2 \) and \( \dot{x}(0) = 1 \) to find constants A and B.3. \( x(0) = 2 \rightarrow A \cos(0) + B \sin(0) = 2 \rightarrow A = 2 \).4. \( \dot{x}(t) = -2A \sin(2t) + 2B \cos(2t) \rightarrow \dot{x}(0) = 1 \rightarrow 2B = 1 \rightarrow B = \frac{1}{2} \).5. Thus, the specific solution is \( x(t) = 2 \cos(2t) + \frac{1}{2} \sin(2t) \).
03

Apply Initial Conditions for Part (b)

For the equation \( \ddot{x} + x = 0 \):1. The general solution is \( x(t) = A \cos(t) + B \sin(t) \).2. Use initial conditions \( x(0) = 1 \) and \( \dot{x}(0) = -2 \) to find constants A and B.3. \( x(0) = 1 \rightarrow A \cos(0) + B \sin(0) = 1 \rightarrow A = 1 \).4. \( \dot{x}(t) = -A \sin(t) + B \cos(t) \rightarrow \dot{x}(0) = -2 \rightarrow B = -2 \).5. Thus, the specific solution is \( x(t) = \cos(t) - 2 \sin(t) \).
04

Apply Initial Conditions for Part (c)

For the equation \( \ddot{x} + a^2 x = 0 \):1. The general solution is \( x(t) = A \cos(at) + B \sin(at) \).2. Use initial conditions \( x(0) = 0 \) and \( \dot{x}(0) = v_0 \) to find constants A and B.3. \( x(0) = 0 \rightarrow A \cos(0) + B \sin(0) = 0 \rightarrow A = 0 \).4. \( \dot{x}(t) = -aA \sin(at) + aB \cos(at) \rightarrow \dot{x}(0) = v_0 \rightarrow aB = v_0 \rightarrow B = \frac{v_0}{a} \).5. Thus, the specific solution is \( x(t) = \frac{v_0}{a} \sin(at) \).

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Key Concepts

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Differentialgleichungen
Differentialgleichungen sind Gleichungen, die Ableitungen einer oder mehrerer unabhängiger Variablen enthalten. In unserem Fall handelt es sich um gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Sie beschreiben, wie sich eine Funktion (z.B. die Position eines schwingenden Objekts) mit der Zeit ändert.
In der Schwingungstheorie kommt oft die Form \( \ddot{x} + k^2 x = 0 \) vor. Diese Gleichung beschreibt freie ungedämpfte Schwingungen, da kein Dämpfungsterm (z.B. Reibung) enthalten ist. Das bedeutet, dass die Schwingung durch eine Rückstellkraft um den Ruhezustand herum verursacht wird.
Anfangsbedingungen
Um eine eindeutige Lösung für eine Schwingungsgleichung zu finden, benötigen wir Anfangsbedingungen. Diese geben uns die Position und Geschwindigkeit eines Objekts zu einem bestimmten Zeitpunkt (meistens bei t = 0).
Die Anfangsbedingungen helfen uns, die Konstanten A und B in der allgemeinen Lösung zu bestimmen. Zum Beispiel:
  • Für \( x(0) = 2 \) bedeutet das, dass die Position des Objekts zu Beginn 2 ist.
  • Für \( \dot{x}(0) = 1 \) bedeutet das, dass die Geschwindigkeit des Objekts zu Beginn 1 ist.
Diese Werte setzen wir in die allgemeine Lösung ein und berechnen dann die Konstanten.
allgemeine Lösung
Die allgemeine Lösung einer Differenzialgleichung beschreibt die allgemeine Form aller möglichen Lösungen. Für die Schwingungsgleichung \( \ddot{x} + k^2 x = 0 \) lautet die allgemeine Lösung:
\( x(t) = A \cos(kt) + B \sin(kt) \)
Hierbei sind A und B Konstanten, die durch die Anfangsbedingungen bestimmt werden. Diese allgemeine Lösung zeigt, dass das Objekt sich sinusförmig bewegt, wobei die Frequenz der Bewegung durch k bestimmt wird.
homogene lineare Differentialgleichungen
Eine homogene lineare Differentialgleichung hat die Form \( \ddot{x} + p(t)\dot{x} + q(t)x = 0 \), wobei p(t) und q(t) Funktionen von t sind. In unserem Fall sind p(t) = 0 und q(t) = k^2 konstant.
Für diese Art von Gleichungen gibt es spezielle Methoden zur Lösung, eine davon ist die Methode der Charakteristiken oder die Ansatzmethode. Die Schwingungsgleichung \( \ddot{x} + k^2 x = 0 \) ist eine spezielle Art der homogenen linearen Gleichung, bei der die Lösung sinus- und kosinusförmig ist.
Schwingungsgleichungen
Schwingungsgleichungen beschreiben Bewegungen, die sich periodisch wiederholen. Bei freien ungedämpften Schwingungen wie der Form \( \ddot{x} + k^2 x = 0 \) fehlte ein Dämpfungselement. Das bedeutet, dass Energie nicht durch Reibung verloren geht und die Schwingungsamplitude konstant bleibt.
Die Lösungen dieser Gleichung zeigen, dass die Bewegung sinusförmig ist und die Frequenz der Schwingung von k abhängt. Durch die Anfangsbedingungen definieren wir, wie genau diese Schwingung im Raum und in der Zeit aussieht.

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Lösen Sie das Anfangswertproblem $$ \dot{\mathbf{x}}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 4 \\ 1 & 1 \end{array}\right) \mathbf{x}+\left(\begin{array}{r} -1 \\ 2 \end{array}\right) \mathrm{e}^{t}, \quad \mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{c} -0,5 \\ 0 \end{array}\right) $$ a) durch „Aufsuchen einer partikulären Lösung", b) nach dem Einsetzungs- oder Eliminationsverfahren.

Welche der folgenden Differentialgleichungen 1 . Ordnung sind linear, welche nichtlinear? Unterscheiden Sie dabei die linearen Differentialgleichungen nach homogenen und inhomogenen Differentialgleichungen. a) \(y^{\prime}=x y\) b) \(\quad x^{3} y^{\prime}-y=2 x y^{2}\) c) \(y^{\prime}-2 y=\sin x\) d) \(y^{\prime} \cdot \cos x-y+\sin x=1\) e) \(\quad y^{\prime} y^{2}+x^{2}=1\) f) \(y^{\prime}=\sqrt{y}\) g) \(L \frac{d i}{d t}+R i=u(t)\) h) \(y^{\prime}-x\left(1+y^{2}\right)\) i) \(x y^{\prime}+y=\ln x\) j) \(m \dot{v}+k v=m g\) k) \(\quad y^{\prime} \sqrt{y}-x=0\) l) \(y^{\prime}=5 x^{4}(y+1)\)

Lösen Sie die inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung \(y^{\prime}-3 y=x \cdot \mathrm{e}^{x}\) a) durch Variation der Konstanten, b) durch Aufsuchen einer partikulären Lösung.

Lösen Sie die folgenden Anfangswertaufgaben durch Variation der Konstanten: a) \(x y^{\prime}-y=x^{2} \cdot \cos x, \quad y(\pi)=2 \pi\) b) \(y^{\prime}+(\tan x) \cdot y=5 \cdot \sin (2 x), \quad\) Lösungskurve durch Punkt \(P=(3 \pi ; 2)\) c) \(x y^{\prime}+y=\ln x, \quad y(1)=1\)

Wie lauten die allgemeinen Lösungen der folgenden homogenen linearen Differentialgleichungen \(1 .\) Ordnung mit konstanten Koeffizienten? a) \(y^{\prime}+4 y=0\) b) \(\quad 2 y^{\prime}+4 y=0\) c) \(\quad-3 y^{\prime}=8 y\) d) \(a y^{\prime}-b y=0\) c) \(\quad \vec{n}=-\lambda n\) f) \(-3 y^{\prime}+18 y=0\) g) \(L \frac{d i}{d t}+R i=0\) h) \(\quad 2 \frac{d y}{d x}+18 y=0\) i) \(3 y^{\prime}-5 a y=0\) j) \(\quad T u+u=0\)

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