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Chapter 5: Problem 1

Welche der folgenden linearen Differentialgleichungen \(2 .\) Ordnung besitzen konstante Koeffizienten? Klassifizieren Sie diese Differentialgleichungen weiter nach homogenen und inhomogenen Gleichungen. a) \(y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=\cos x\) b) \(\quad x y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}=0\) c) \(y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+9 y=0\) d) \(2 \vec{x}+x=e^{-2 t}\) e) \(y^{\prime \prime}+y^{\prime}+x^{2} y=\mathrm{e}^{x}\) f) \(y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+13 y=0\)

Short Answer

Expert verified
Equations (a), (c), and (f) have constant coefficients. (a) is inhomogeneous; (c) and (f) are homogeneous.

Step by step solution

01

Identify linear differential equations with constant coefficients

Look at each differential equation and check if the coefficients of the terms involving derivatives of y are constants.
02

Check for homogeneity

A homogeneous differential equation has a right-hand side (RHS) equal to zero, while an inhomogeneous differential equation has a non-zero RHS.
03

Analyze equation (a)

For equation (a) \(y'' + 2y' + y = \cos x\), the coefficients are constants (1, 2, and 1). This is an inhomogeneous equation because the RHS is \(\cos x\).
04

Analyze equation (b)

For equation (b) \(x y'' - 2 y' = 0\), the coefficient of \(y''\) is \(x\), which is not constant. Therefore, this equation does not have constant coefficients.
05

Analyze equation (c)

For equation (c) \(y'' + 6y' + 9y = 0\), the coefficients are constants (1, 6, and 9). This is a homogeneous equation because the RHS is 0.
06

Analyze equation (d)

Equation (d) is not a differential equation and appears to be incorrectly formatted. Assuming it should involve derivatives, it cannot be classified in its current form.
07

Analyze equation (e)

For equation (e) \(y'' + y' + x^2 y = \mathrm{e}^x\), the coefficient of \(y\) is \(x^2\), which is not constant. Therefore, this equation does not have constant coefficients.
08

Analyze equation (f)

For equation (f) \(y'' - 4y' + 13y = 0\), the coefficients are constants (1, -4, and 13). This is a homogeneous equation because the RHS is 0.
09

Final classification

The differential equations with constant coefficients are: (a) inhomogeneous, (c) homogeneous, (f) homogeneous.

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Key Concepts

These are the key concepts you need to understand to accurately answer the question.

konstante Koeffizienten
In linearen Differentialgleichungen beschreibt der Begriff 'konstante Koeffizienten', dass die Koeffizienten der Terme, die die Ableitungen enthalten, unveränderlich sind. Das bedeutet, dass sie keine Funktionen der unabhängigen Variablen sind, sondern feste Zahlenwerte. Ein Beispiel für eine solche Gleichung wäre:

\[\begin{equation} y'' + 3y' + 2y = 0 \end{equation}\]

Hier sind die Koeffizienten 1, 3 und 2 konstant. Diese Art von Differentialgleichungen ist oft einfacher zu lösen, da ihre Struktur beständig bleibt. Im Originalbeispiel wurden nur die Gleichungen (a), (c) und (f) als Beispiele linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten identifiziert.
  • Gleichung (a): \[\begin{equation} y'' + 2y' + y = \cos x \end{equation}\]
  • Gleichung (c): \[\begin{equation} y'' + 6y' + 9y = 0 \end{equation}\]
  • Gleichung (f): \[\begin{equation} y'' - 4y' + 13y = 0 \end{equation}\]
homogene Differentialgleichungen
Homogene Differentialgleichungen sind solche Gleichungen, bei denen alle Terme auf einer Seite der Gleichung stehen und die andere Seite gleich Null ist. Diese Gleichungen haben die allgemeine Form:

\[\begin{equation} y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0 \end{equation}\]

Hier bedeutet das, dass keine externen Kräfte oder Quellen die Systemdynamik beeinflussen. In den Beispielen aus der Übung sind die homogenen Differentialgleichungen:
  • Gleichung (c): \[\begin{equation} y'' + 6y' + 9y = 0 \end{equation}\] - die Koeffizienten sind konstant und die rechte Seite ist null, was bedeutet, dass die Gleichung homogen ist.
  • Gleichung (f): \[\begin{equation} y'' - 4y' + 13y = 0 \end{equation}\] - auch hier sind die Koeffizienten konstant und die Gleichung ist homogen.
inhomogene Differentialgleichungen
Inhomogene Differentialgleichungen besitzen auf der rechten Seite einen Nicht-Null-Term, repräsentiert durch eine Funktion der unabhängigen Variablen oder eine konstante Nicht-Null-Funktion. Diese Gleichungen haben die Form:

\[\begin{equation} y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x) \end{equation}\]

Bei inhomogenen Gleichungen wird das Verhalten des Systems durch eine externe Quelle oder einen Antrieb beeinflusst. Ein Beispiel dafür aus der Übung ist Gleichung (a):
  • Gleichung (a): \[\begin{equation} y'' + 2y' + y = \cos x \end{equation}\] - die rechte Seite der Gleichung ist \cos x und daher inhomogen. Diese Gleichung enthält konstante Koeffizienten (1, 2, und 1), die das Verständnis und die Lösung der Gleichung vereinfachen.

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L?sen Sie die folgenden inhomogenen linearen Differentialgleichungssysteme 2. Ordnung durch , Aufsuchen einer partikulären Lösung": a) \(y_{1}^{\prime}=2 y_{2}+8 x\) $$ y_{2}^{\prime}=-2 y_{1} $$ $$ \text { b) } y_{1}^{\prime}=-y_{1}+y_{2}+4 \cdot \mathrm{e}^{2 x} $$ $$ y_{2}^{\prime}=-4 y_{1}+3 y_{2} $$

In einem \(\operatorname{sog} . R L\) - Stromkreis mit einem ohmschen Widerstand \(R\) und einer Induktivität \(L\) gen?gt die Stromst?rke \(i\) der linearen Differentialgleichung \(1 .\) Ordnung $$ L \frac{d i}{d t}+R i=u $$ Dabei ist \(u=u(t)\) die von außen angelegte Spannung (Bild V-64). Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Stromstärke \(i=i(t)\) a) bei konstanter Spannung \(u(t)=\) const. \(=u_{0}\), b) bei linear mit der Zeit ansteigender Spannung \(u(t)=\) at \((a>0)\), jeweils für den Anfangswert \(i(0)=0\).

Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen 1. Ordnung durch Variation der Konstanten: a) \(y^{\prime}+x y=4 x\) b) \(y^{\prime}+\frac{y}{1+x}=\mathrm{e}^{2 x}\) c) \(x y^{\prime}+y=x \cdot \sin x\) d) \(y^{\prime} \cdot \cos x-y \cdot \sin x=1\) e) \(y^{\prime}-(2-\cos x) \cdot y=\cos x\) f) \(x y^{\prime}-y=x^{2}+4\)

Gegeben ist die Differentialgleichung \(y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-5 y=0 .\) Zeigen Sie, da \(B\) diese Gleichung die allgemeine L?sung \(y=C_{1} \cdot \mathrm{e}^{5 x}+C_{2} \cdot \mathrm{e}^{-x}\) besitzt \(\left(C_{1}, C_{2} \in \mathbb{R}\right)\).

Zeigen Sie: Die homogene lineare Differentialgleichung 3. Ordnung $$ y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+9 y^{\prime}+13 y=0 $$ besitzt die linear unabhängigen Lösungen (Basisfunktionen) \(y_{1}=\mathrm{e}^{-x}\). \(y_{2}=\mathrm{e}^{2 x} \cdot \sin (3 x)\) und \(y_{3}=\mathrm{e}^{2 x} \cdot \cos (3 x)\) Wie lautet die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung?
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