Bestimmen Sie zu jeder der nachfolgenden linearen Differentialgleichungen eine partikuläre Losung: a) \(y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}=10 x\) b) \(y^{\prime \prime \prime}+4 y^{\prime \prime}+13 y^{\prime}=\mathrm{e}^{x}+10\) c) \(y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=2 \cdot \cos x-3 \cdot \sin x\) d) \(x^{(4)}+2 \vec{x}+x=t \cdot \mathrm{e}^{-t}\) e) \(y^{(5)}-2 y^{(4)}+3 y^{\prime \prime \prime}-6 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+8 y=\) \(=-104 \cdot e^{3 x}+24 \cdot \sin x-12 \cdot \cos x+8 x^{2}\)

In der Lösung einer linearen Differentialgleichung ist die Bestimmung der partikulären Lösung sehr wichtig. Eine partikuläre Lösung ist eine spezielle Lösung der nicht-homogenen Differentialgleichung. Sie besteht aus Funktionen, die auf den nicht-homogenen Teil der Gleichung zugeschnitten sind.

Bei einer nicht-homogenen Differentialgleichung der Form: \[ L(y) = g(x) \] \ ist L ein linearer Differentialoperator und g(x) eine gegebene Funktion, die nicht null ist. Um eine partikuläre Lösung zu finden, schlagen wir eine spezielle Form vor, die zu der Funktion g(x) passt.

Hier sind einige Fälle:

• Wenn g(x) ein Polynom ist, versuchen wir eine Lösung in der Form eines Polynoms.
• Wenn g(x) eine Exponentialfunktion ist, verwenden wir eine Exponentialfunktion.
• Falls g(x) eine Kombination aus trigonometrischen Funktionen ist, schlagen wir eine Lösung vor, die Sinus- und Kosinusfunktionen enthält.

Aus diesen Formen leiten wir die Ableitungen ab, setzen sie in die Differentialgleichung ein und lösen für die unbekannten Koeffizienten.

Eine nicht-homogene Differentialgleichung ist eine Gleichung, die einen nicht-homogenen Term enthält. Dieser nicht-homogene Term ist eine Funktion von x, die nicht null ist. Die allgemeine Form sieht so aus: \[ L(y) = g(x) \]

\ Hier ist L ein linearer Differentialoperator, und g(x) ist eine gegebene Funktion, die das System anregt.

Die Lösung einer nicht-homogenen Differentialgleichung setzt sich aus zwei Teilen zusammen:

• Einer homogenen Lösung, die zur zugehörigen homogenen Gleichung gehört (ohne den nicht-homogenen Term g(x)), also L(y) = 0.
• Einer partikulären Lösung, die speziell auf den nicht-homogenen Term g(x) abgestimmt ist. Diese Lösung wurde bereits im vorherigen Abschnitt erklärt.

Zur Gesamtlösung der nicht-homogenen Differentialgleichung addieren wir dann beide Lösungen zusammen. Das Ergebnis ist: \[ y = y_h + y_p \]

Hierbei steht y_h für die homogene Lösung und y_p für die partikuläre Lösung.

Analytische Methoden sind Techniken zur Lösung von Differentialgleichungen, die durch formale mathematische Schritte und Manipulationen erfolgen. Um die partikuläre Lösung einer nicht-homogenen Differentialgleichung zu finden, verwenden wir solche Methoden.

Zu den häufig verwendeten analytischen Methoden gehören:

• Das Ansatz-Verfahren: Dieses besteht darin, eine allgemeine Form für die Lösung vorzuschlagen, die den Term des nicht-homogenen Teils der Gleichung nachahmt. Wir setzen die vorgeschlagene Lösung in die Gleichung ein, um die Koeffizienten zu bestimmen.
• Der Variationsparameter: Bei dieser Methode wird die Lösung in eine bestimmte Form gebracht, um eine neue Differentialgleichung zu bildem, deren Lösung die Koeffizienten der partikulären Lösung liefert.
• Laplace-Transformation: Diese Umwandlung transformiert die Differentialgleichung in eine algebraische Gleichung, die einfacher zu lösen ist. Nach der Lösung wird durch Inversion der Laplace-Transformation die Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung erhalten.

Die Auswahl der Methode hängt von der Art der Differentialgleichung und vom nicht-homogenen Term ab. Jede Methode hat ihre eigenen Vorteile und eignet sich besonders gut für unterschiedliche Typen von Differentialgleichungen.