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Mobile App Chapter 5: Problem 3
Lösen Sie das Anfangswertproblem $$ y y^{\prime}=x+\frac{y^{2}}{x}, \quad y(1)=\sqrt{2} $$ mittels Substitution.
Short Answer
Expert verified
The solution is \(y^2 = 2x^2 \ln|x| + 2x^2\).
Step by step solution
01
- Recognize the substitution
Identify a substitution to simplify the equation. Let’s use the substitution method where we set: \(y = xv\), where \(v\) is a function of \(x\).
02
- Differentiate the substitution
Differentiate \(y = xv\) with respect to \(x\): \(y' = v + x \frac{dv}{dx}\).
03
- Substitute into the original equation
Substitute \(y = xv\) and \(y' = v + x \frac{dv}{dx}\) into the original equation: \(yv' = x + \frac{y^2}{x}\) becomes \(xv(v + x \frac{dv}{dx}) = x + \frac{(xv)^2}{x}\).
04
- Simplify the equation
Simplify the equation from the substitution: \(xv(v + x \frac{dv}{dx}) = x + xv^2\). Distribute and combine like terms: \(xv^2 + x^2v\frac{dv}{dx} = x + xv^2\). Cancel common terms to get: \(x^2v\frac{dv}{dx} = x\).
05
- Separate the variables
Separate the variables to integrate both sides: \(v\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}\).
06
- Integrate both sides
Integrate both sides: \( \int v \frac{dv}{dx} \, dx = \int \frac{1}{x} \, dx\). This gives: \(\frac{v^2}{2} = \ln|x| + C\), where \(C\) is the constant of integration.
07
- Solve for \(v\)
Solve for \(v\): \(v^2 = 2 \ln|x| + 2C\). Let’s set \(2C\) to be another constant, \(C_1\): \(v^2 = 2 \ln|x| + C_1\).
08
- Substitute \(v\) back in terms of \(y\)
Recall that \(v = \frac{y}{x}\), so substitute back: \( \left( \frac{y}{x} \right)^2 = 2 \ln|x| + C_1\). Hence, \( \frac{y^2}{x^2} = 2 \ln|x| + C_1\).
09
- Solve for the constant using initial condition
Use the initial condition \(y(1) = \sqrt{2}\) to find \(C_1\): \( \frac{(\sqrt{2})^2}{1^2} = 2 \ln|1| + C_1\). Solving this yields \(2 = C_1\), since \(\ln|1| = 0\).
10
- Write the final solution
Substitute \(C_1 = 2\) back into the equation: \( \frac{y^2}{x^2} = 2 \ln|x| + 2\). Finally, multiply by \(x^2\): \(y^2 = 2x^2 \ln|x| + 2x^2\).
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Key Concepts
These are the key concepts you need to understand to accurately answer the question.
Differentialgleichungen
Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die eine oder mehrere unbekannte Funktionen und deren Ableitungen enthält. Solche Gleichungen beschreiben viele physikalische und mathematische Phänomene. In dieser Übung haben wir eine Differentialgleichung der Form:
Substitutionsmethode
Die Substitutionsmethode ist eine Technik, die verwendet wird, um Differentialgleichungen zu vereinfachen. Indem wir einen geeigneten Ausdruck für die unbekannte Funktion \(y\) einsetzen, können wir die Gleichung leichter lösbar machen. In unserem Beispiel haben wir den Ansatz \(y = xv\) gewählt.
Nach der Substitution und Differenzierung erhalten wir: \(y' = v + x \frac{dv}{dx}\). Indem wir dies in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, erhalten wir eine neue Gleichung in den Variablen \(v\) und \(x\). Dies ist oft einfacher zu lösen als die ursprüngliche Gleichung.
Nach der Substitution und Differenzierung erhalten wir: \(y' = v + x \frac{dv}{dx}\). Indem wir dies in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, erhalten wir eine neue Gleichung in den Variablen \(v\) und \(x\). Dies ist oft einfacher zu lösen als die ursprüngliche Gleichung.
Integration
Integration ist der Prozess der Bestimmung der Stammfunktion oder des Integrals einer Funktion. In unserem Schritt-für-Schritt-Prozess führte die Separation of Variables dazu, dass wir auf beiden Seiten der Gleichung integrieren mussten.
