L?sen Sie die folgenden Differentialgleichungen 1. Ordnung durch Trennung der Variablen: a) \(x^{2} y^{\prime}=y^{2}\) b) \(y^{\prime}\left(1+x^{2}\right)=x y\) c) \(\quad y^{\prime}=(1-y)^{2}\) d) \(y^{\prime} \cdot \sin y=-x\)

Die Trennung der Variablen ist ein grundlegender Schritt bei der Lösung von Differentialgleichungen erster Ordnung. Dies bedeutet, dass man die Gleichung so umformt, dass alle Terme, die die unabhängige Variable (meistens x) enthalten, auf einer Seite stehen und alle Terme, die die abhängige Variable (meistens y) enthalten, auf der anderen Seite stehen.

Lassen Sie uns dies anhand der Gleichung (a) zeigen:

Gegeben sei die Gleichung: \(x^{2} \frac{dy}{dx} = y^{2}\).

Wir können sie umschreiben, um Variablen zu trennen: \(\frac{1}{y^{2}} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^{2}}\) oder \(\frac{dy}{y^{2}} = \frac{dx}{x^{2}}\).

Nun sind die Variablen y auf der einen Seite und die Variablen x auf der anderen Seite getrennt. Dieser Schritt vereinfacht die weitere Bearbeitung deutlich.

Nach dem Trennen der Variablen ist der nächste Schritt die Integration. Das Ziel ist es, die Gleichung zu integrieren und eine allgemeine Lösung zu finden.

Beispielsweise integrieren wir beide Seiten der umgeschriebenen Gleichung (a):

\(\frac{dy}{y^{2}} = \frac{dx}{x^{2}}\)

Durch die Integration erhalten wir folgendes:

\(\begin{aligned} \int \frac{1}{y^{2}} \, dy = \int \frac{1}{x^{2}} \, dx\end{aligned}\)

Dies führt zu: \(- \frac{1}{y} = -\frac{1}{x} + C\).

So lautet die allgemeine Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung, bevor wir die Konstantenwerte prüfen.

Nachdem die Variablen getrennt und integriert wurden, besteht der letzte Schritt darin, die Gleichung so umzuformen, dass die ursprüngliche abhängige Variable (meist y) isoliert wird.

Führung Sie diesen Schritt anhand der Gleichung (a) weiter: \(\frac{1}{y} = \frac{1}{x} + C\).

In diesem Fall können wir nach y auflösen:
\(\frac{1}{y} = \frac{1}{x} + C\) oder \(\frac{1}{y} = \frac{1 + Cx}{x}\).

Schließlich erhalten wir: \y = \frac{x}{1 + Cx}\.

Dies ist die vollständige Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung. Jeder Differentialgleichungstyp kann anders aussehen, aber die Schritte zur Lösung (Trennen der Variablen, Integrieren und Umformen) bleiben ähnlich.