Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme: a) \(x^{2} y^{\prime}=y^{2}+x y, \quad y(1)=-1\) b) \(y y^{\prime}=2 \cdot \mathrm{e}^{2 x}, \quad y(0)=2\)

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die eine Funktion und ihre Ableitungen enthält. Diese Gleichungen sind besonders nützlich zur Modellierung von Veränderungen und Wachstumsprozessen in verschiedenen Wissenschaften wie Physik, Biologie und Wirtschaft. In unserer Übung behandeln wir Anfangswertprobleme, bei denen nicht nur die Differentialgleichung gegeben ist, sondern auch ein Anfangswert der Lösung.
Um eine Differentialgleichung wie in unserem Beispiel zu lösen, müssen wir oft verschiedene mathematische Techniken anwenden. Ein häufiger Ansatz ist die sogenannte Variablentrennung. Dies bedeutet, dass wir die Gleichung so umformen, dass alle Terme, die von der unabhängigen Variablen (zum Beispiel x) abhängen, auf einer Seite und alle Terme, die von der abhängigen Variablen (zum Beispiel y) abhängen, auf der anderen Seite landen.
Ein wichtiger Punkt bei der Arbeit mit Differentialgleichungen ist das Verwenden von Anfangsbedingungen. Diese Bedingungen helfen uns, eine spezifische Lösung zu finden, anstatt nur eine allgemeine Form der Lösung. In unserem Beispiel haben die Anfangsbedingungen festgelegt, welche spezifische Lösung der Gleichung wir suchen.

Die Variablentrennung ist eine Methode, die oft verwendet wird, um Differentialgleichungen zu lösen, bei denen die Variablen getrennt werden können. Dies bedeutet, dass wir die Gleichung in einen Teil, der nur von x abhängt, und einen anderen Teil, der nur von y abhängt, aufteilen können.
Im ersten Teil unseres Beispiels war die Gleichung: \[ x^2 y' = y^2 + x y \] Wir haben diese umgeordnet, sodass alle y-Terme auf einer Seite und alle x-Terme auf der anderen Seite landen: \[ \frac{y'}{y^2 + xy} = \frac{1}{x^2} \] Das ermöglicht uns die nächste Öffnung zur Integration, da wir jetzt die Terme über y und über x separat sehen.
Im zweiten Teil der Übung haben wir eine ähnliche Umformung gemacht: \[ y y' = 2 e^{2x} \] Dann haben wir beide Seiten durch y geteilt: \[ y' = \frac{2 e^{2x}}{y} \] Das Ziel der Variablentrennung ist es, die Integration durchführbar zu machen und die Gleichung in eine Form zu bringen, die wir einfach lösen können.

Die Integration ist ein wesentlicher Schritt beim Lösen von Differentialgleichungen nach der Methode der Variablentrennung. Nachdem wir die Variablen getrennt haben, integrieren wir beide Seiten der Gleichung. Im ersten Beispiel lautete die getrennte Gleichung: \[ \frac{1}{y^2 + xy} dy = \frac{1}{x^2} dx \] Durch die Integration beider Seiten erhalten wir: \[ \text{Integration:} \rightarrow -\frac{1}{y} - \text{ln}|y| = -\frac{1}{x} + C \]Integration ermöglicht uns, die ursprüngliche Differentialgleichung auf eine lösbare Form zu bringen.
Im zweiten Beispiel war die getrennte Gleichung:\[ \frac{y}{2} dy = e^{2x} dx \] Nach der Integration ergibt sich:\[ \frac{y^2}{2} = e^{2x} + C \] Am Ende dieser Schritte wenden wir die Anfangsbedingungen an, um die Konstanten zu bestimmen und die spezifische Lösung der Differentialgleichung zu finden.
Integration ist also ein kraftvolles Werkzeug in unserem mathematischen Arsenal, das uns hilft, viele Arten von Problemen in Differentialgleichungen zu lösen.