Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme: a) \(y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+5 y=0, \quad y(0)=\pi, \quad y^{\prime}(0)=0\) b) \(y^{\prime \prime}+20 y^{\prime}+64 y=0, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=2\) c) \(4 \ddot{x}-4 \dot{x}+x=0, \quad x(0)=5, \quad \dot{x}(0)=-1\)

Differentialgleichungen sind Gleichungen, die eine Funktion und ihre Ableitungen beinhalten. Sie spielen eine wichtige Rolle in verschiedenen wissenschaftlichen Bereichen wie Physik, Ingenieurwesen und Wirtschaft. Differentialgleichungen können gewöhnliche Differentialgleichungen (ODE) oder partielle Differentialgleichungen (PDE) sein. Im Kontext von Anfangswertproblemen werden gewöhnliche Differentialgleichungen verwendet.
ODEs tauchen oft in Modellen auf, die die Veränderung einer Größe beschreiben, wie etwa die Bewegung eines Objekts oder das Wachstum einer Population. Bei der Lösung von Differentialgleichungen ist das Ziel, die unbekannte Funktion zu finden, die die Gleichung und gegebenen Anfangsbedingungen erfüllt.
Beispiel: Die Gleichung \( y'' + 4y' + 5y = 0 \) beschreibt, wie eine Funktion \( y(t) \) abhängig von ihrer zweiten und ersten Ableitung ist.

Die charakteristische Gleichung ist ein wichtiges Werkzeug zur Lösung linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Sie entsteht durch Annahme einer Exponentialfunktion als Lösungsansatz.
Beispielsweise, betrachte die Differentialgleichung \( y'' + 4y' + 5y = 0 \). Angenommen, \( y(t) = e^{rt} \) ist eine mögliche Lösung, so führt dies zur charakteristischen Gleichung \( r^2 + 4r + 5 = 0 \).
Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung, genannt Wurzeln, bestimmen die Form der allgemeinen Lösung der Differentialgleichung.

Treten bei der Lösung der charakteristischen Gleichung komplexe Wurzeln auf, erhält die allgemeine Lösung der Differentialgleichung eine besondere Form. Komplexe Wurzeln treten in Paaren auf, wie in \( r = -2 \pm i \).
Die allgemeine Lösung für diese Wurzeln lautet dann \( y(t) = e^{\text{real}(r)t} (C_1 \cos(\text{imag}(r)t) + C_2 \sin(\text{imag}(r)t)) \).
Im Fall von \( r = -2 \pm i \) ergibt das \( y(t) = e^{-2t}(C_1 \cos t + C_2 \sin t) \). Solche Lösungen sind oft in physikalischen Systemen zu finden, die gedämpfte Schwingungen darstellen.

Zur Lösung der charakteristischen Gleichung nutzen wir häufig die quadratische Gleichung. Eine quadratische Gleichung hat die Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) und lässt sich mit der bekannten Lösungsformel lösen:
\[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Diese Formel setzt voraus, dass der Ausdruck unter der Wurzel (der Diskriminant) positiv, negativ oder null sein kann. Ein positiver Diskriminant führt zu reellen Wurzeln, ein negativer zu komplexen Wurzeln und ein null Diskriminant zu einer doppelten reellen Wurzel.