Ein Kondensator mit der Kapazit?t \(C=5 \mu \mathrm{F}\) wird zunächst auf \(u_{0}=100 \mathrm{~V}\) aufgeladen und anschlieBend über einen ohmschen Widerstand von \(R=500 \Omega\) und eine Spule mit der Induktivit?t \(L=0,2 \mathrm{H}\) entladen (Bild V-69). Bestimmen Sie den zcitlichen Verlauf der Stromstärke \(i=i(t)\) in diesem Reihenschwingkreis. Anleitung: Lösen Sie die Schwingungsgleichung $$ \frac{d^{2} i}{d t^{2}}+2 \delta \frac{d i}{d t}+\omega_{0}^{2} i=0 \quad\left(\delta=\frac{R}{2 L}, \omega_{0}^{2}=\frac{1}{L C}\right) $$ für die Anfangswerte \(i(0)=0, u_{C}(0)=u_{0} .\) Zwischen der Kondensatorspannung \(u_{C}(t)\), der Kondensatorladung \(q(t)\) und der Stromstärke \(i(t)\) bestehen dabei die folgenden Zusammenh?nge: $$ C=\frac{q}{u_{C}}, \quad i=-\dot{q} \Rightarrow u_{C}(t)=\frac{1}{C} q(t)=-\frac{1}{C} \cdot \int i(t) d t $$

Beim Entladen eines Kondensators in einem Schwingkreis fließt Strom durch die Schaltung und es entstehen schwingende elektrische Signale. Wenn der Kondensator über einen Widerstand und eine Spule entladen wird, beeinflussen diese Komponenten, wie schnell und wie gedämpft die Schwingung abklingt. In dieser Aufgabe wurde ein Kondensator mit einer Kapazität von 5 μF auf eine Spannung von 100 V aufgeladen und dann über einen Widerstand von 500 Ω und eine Spule mit 0,2 H entladen.
Der zeitliche Verlauf der Stromstärke muss bestimmt werden, um zu verstehen, wie der Strom im Schwingkreis über die Zeit fließt. Die verwendete Formel basiert auf der Differentialgleichung für elektrische Schwingkreise, welche durch die physikalischen Eigenschaften des Systems beeinflusst wird.

Die Differentialgleichung, die in dieser Aufgabe zur Analyse verwendet wird, beschreibt den zeitverlaufenden Strom im Schwingkreis. Sie lautet: \[ \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + 2 \delta \frac{d i}{d t} + \omega_{0}^{2} i = 0 \]
Das erste Glied \[ \frac{d^{2} i}{d t^{2}} \] steht für die Beschleunigung des Stroms im Kreis, während \[ 2 \delta \frac{d i}{d t} \] die Dämpfung darstellt, die durch den Widerstand verursacht wird und schließlich \[ \omega_{0}^{2} i \] beschreibt den Rückstellmechanismus, welcher durch die Spule und den Kondensator beeinflusst wird. Diese Gleichung ermöglicht es, den Verlauf der Stromstärke zu berechnen, indem bekannte physikalische Konstanten des Kreises wie Widerstand (R), Induktivität (L) und Kapazität (C) verwendet werden.

Der Dämpfungsfaktor \[ \delta \] gibt an, wie stark die Schwingung im Schwingkreis gedämpft wird. Er wird durch den Widerstand und die Induktivität des Schaltkreises bestimmt und berechnet sich zu: \[ \delta = \frac{R}{2L} \]
In dieser Aufgabe ergibt sich \[ \delta = 1250 \text{s}^{-1} \]
Ein hoher Dämpfungsfaktor bedeutet eine starke Dämpfung, wobei die Schwingungen schneller abklingen. Ein niedriger Dämpfungsfaktor führt dementsprechend zu einer schwächeren Dämpfung und längeren Schwingungen. Der Dämpfungsfaktor ist entscheidend, um den Verlauf und das Verhalten der Schwingung im zeitlichen Verlauf zu bestimmen.

Um die Stromstärke im Schwingkreis \[ i(t) \] zu berechnen, verwendet man die allgemeine Lösung der Differentialgleichung. Diese Lösung hat die Form: \[ i(t) = A e^{-1000t} + B e^{-1500t} \]
Hierbei sind A und B Konstanten, die durch die Anfangsbedingungen berechnet werden. In dieser Aufgabe ergeben sich die speziellen Werte für A und B durch die Anfangsbedingungen \[ i(0) = 0 \] und \[ u_C(0) = 100 \] zu: \[ A = 120 \text{ und } B = -120 \]
Der komplette Ausdruck für den zeitlichen Verlauf der Stromstärke lautet daher: \[ i(t) = 120 e^{-1000t} - 120 e^{-1500t} \]
Dies zeigt, wie sich der Strom im Schwingkreis im Laufe der Zeit verringert.

Elektrische Schwingungen in einem Reihenschwingkreis entstehen, wenn ein Kondensator über eine Spule und einen Widerstand entladen wird. Diese Schwingungen werden durch ein Zusammenspiel von elektrischen und magnetischen Feldern verursacht. Der Kondensator gibt seine gespeicherte Energie in Form eines elektrischen Felds ab, das dann in einem magnetischen Feld der Spule umgewandelt wird und umgekehrt. Dies führt zu abklingenden Schwingungen im Strom und in der Spannung des Kreises.
Die Frequenz dieser Schwingungen wird durch die natürliche Kreisfrequenz \[ \omega_{0} \] bestimmt, welche für diesen Schwingkreis zu: \[ \omega_{0} = 1000 \, \text{rad/s} \] wird.
Damit lassen sich elektrische Schwingungen wie folgt charakterisieren:

• Unabhängig gedämpfte Schwingungen: ohne Energiezufuhr kommt es durch den Widerstand zu einer Abnahme der Energie
• Gedämpfte Schwingungen: der Widerstand führt dazu, dass die Energie als Wärme abgegeben wird

Das Verhalten der elektrischen Schwingungen ist von zentraler Bedeutung für elektronische Schaltungen und Übertragungen, wie z.B. in Kommunikationssystemen.