Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von \(f(t)=\cos (\omega t)\) unter Berücksichtigung der folgenden Beriehungen: $$ \cos (\omega t)=\frac{\mathrm{e}^{j \omega t}+\mathrm{e}^{-j \omega t}}{2} \quad \text { und } \quad \mathscr{E}\left\\{\mathrm{e}^{a \prime}\right\\}=\frac{1}{s-a}. $$

Trigonometrische Funktionen spielen eine zentrale Rolle in vielen Bereichen der Mathematik und Physik. Eine der wichtigsten Eigenschaften dieser Funktionen ist ihre periodische Natur. Ein gutes Beispiel ist der Kosinus, der oft in Signalverarbeitung und Wellenmechanik verwendet wird.
Bei der Berechnung der Laplace-Transformierte von trigonometrischen Funktionen hilft es, sie in eine Form zu bringen, die einfacher zu handhaben ist. Im vorliegenden Beispiel wird die Identität genutzt, dass der Kosinus durch Exponentialfunktionen ausgedrückt werden kann:ewline ewline \(\text{\textbackslash cos(\textbackslashomega t) = \textbackslashfrac{\textbackslashmathrm{e}^{j\textbackslashomega t} + \textbackslashmathrm{e}^{-j\textbackslasht}}{2}}ewline ewline\)Dies zeigt, wie sich eine periodische Funktion in eine Summe von Exponentialtermen umwandeln lässt. Die Exponentialterme können dann leichter transformiert und manipuliert werden. Dies ist besonders nützlich in der Laplace-Transformation.

Exponentialterme wie \(e^{at}\) sind in der Laplace-Transformation von großer Bedeutung. Sie lassen sich leicht transformieren und tauchen in vielen physikalischen Prozessen auf, wie zum Beispiel beim exponentiellen Wachstum und Zerfall.
Die Laplace-Transformation eines Exponentialterms ist einfach zu berechnen: ewlineewline \(\mathscr{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a}\). ewlineewlineDies bedeutet, dass wir für jeden Exponentialterm die Laplace-Transformierte sehr schnell berechnen können. In unserem Beispiel haben wir \(e^{j\omega t}\) und \(e^{-j\omega t}\). Mit der oben genannten Beziehung ist es einfach, die Laplace-Transformationen dieser Terme zu finden: ewlineewline \[\mathscr{L}\{e^{j\omega t}\} = \frac{1}{s - j\omega}\]ewlineewline \[\mathscr{L}\{e^{-j\omega t}\} = \frac{1}{s + j\omega}\].ewlineDiese Transformierten können dann weiter kombiniert werden, um die Transformation der ursprünglichen Funktion zu berechnen.

Integration im Komplexen ist ein fortgeschrittenes Konzept, das oft in der Analyse von Funktionen mehrerer komplexer Variablen verwendet wird. In der Laplace-Transformation begegnen uns komplexe Terme besonders bei der Darstellung trigonometrischer Funktionen.ewline ewlineEin Beispiel ist die Kosinus-Funktion, die wir vorher in Exponentialtermen umgeformt haben. Die resultierenden komplexen Terme können dabei ebenfalls integriert werden, um eine in komplexer Form dargestellte Funktion zu vereinfachen:ewline ewline \[\mathscr{L}\{e^{j\omega t}\} + \mathscr{L}\{e^{-j\omega t}\} \rightarrow \frac{1}{s - j\omega} + \frac{1}{s + j\omega}\].ewlineDurch das Kombinieren dieser Terme erhalten wir schließlich:ewline ewline \[\frac{1}{2} \left(\frac{1}{s - j\omega} + \frac{1}{s + j\omega}\right)\].ewlineDies führt zu einer weiteren Vereinfachung und letztendlich zur endgültigen Transformierten:ewline \[\frac{s}{s^2 + \omega^2}\].ewlineDas Verstehen dieser Schritte in der Integration hilft dabei, komplexe Funktionen zu analysieren und zu vereinfachen, was in vielen Bereichen der angewandten Mathematik und Physik sehr nützlich ist.