Lösen Sie die folgenden Anfangsweriprobleme: a) \(y^{\prime}-y=\mathrm{e}^{\prime}, \quad y(0)=1\) b) \(y^{\prime}+3 y=-\cos t, \quad y(0)=5\) c) \(y^{\prime}-5 y=2 \cdot \cos t-\sin (3 t), \quad y(0)=0\)

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die eine Funktion und ihre Ableitungen beinhaltet. Solche Gleichungen sind besonders in der Physik und Ingenieurwissenschaft extrem wichtig, da sie viele natürliche und technische Vorgänge modellieren können. Differentialgleichungen können entweder gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) oder partielle Differentialgleichungen (PDEs) sein.
Im Kontext des vorliegenden Problems handelt es sich um gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung. Das bedeutet, dass die Gleichungen nur die erste Ableitung der unbekannten Funktion enthalten.
Beispiel: Die Differentialgleichung in Aufgabe (a) lautet: \( y' - y = e^t, \quad y(0) = 1 \), wobei \( y' \) die erste Ableitung von \( y \) darstellt.
Allgemein lässt sich eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung schreiben als: \[ y' = f(t, y) \], wobei \( t \) die unabhängige Variable und \( y \) die abhängige Variable ist.
Anfangswertprobleme, wie in den Aufgaben (a), (b) und (c) beschrieben, treten auf, wenn eine Anfangsbedingung für die Lösung der Differentialgleichung angegeben ist. In Aufgabe (a) beispielsweise: \( y(0) = 1 \).

Eine lineare Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung, in der die unbekannte Funktion und ihre Ableitungen nur in der ersten Potenz auftreten, und keine Produkte dieser treten auf. Lineare Differentialgleichungen haben die Form: \[ a_n(t) \frac{d^n y}{dt^n} + a_{n-1}(t) \frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}} + \cdots + a_1(t) \frac{dy}{dt} + a_0(t) y = g(t) \].
In unseren Beispielen handelt es sich um lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung, da nur die erste Ableitung \( y' \) enthalten ist. Eine Beispielgleichung wäre: \( y' + 3y = -\text{cos}(t) \).
Solche Gleichungen lassen sich unter Verwendung des Integrationsfaktors effektiv lösen. Diesen Technik bietet eine systematische Methode, um eine Lösung zu finden, indem eine Differentialgleichung in eine exakte Differentialgleichung umgewandelt wird.
Typischerweise beginnt man mit der Standardform der linearen Differentialgleichung erster Ordnung: \[ y' + p(t)y = q(t) \].
Um das Problem zu lösen, multipliziert man beide Seiten der Gleichung mit einem sogenannten Integrationsfaktor.

Der Integrationsfaktor ist ein wesentlicher Bestandteil zur Lösung von linearen Differentialgleichungen erster Ordnung. Um den Integrationsfaktor zu bestimmen, nutzt man die Funktion \( p(t) \) im Teil der standardisierten linearen Gleichung \ \[ y' + p(t)y = q(t) \].
Der Integrationsfaktor \( \mu(t) \) ist definiert als \[ \mu(t) = e^{\int p(t) dt} \].
Indem man die gesamte Gleichung mit diesem Integrationsfaktor multipliziert, wird die linke Seite der Gleichung zu einer vollständigen Ableitung eines Produkts. Dies führt dazu, dass die Gleichung einfach integrierbar wird.
Zum Beispiel: In der Aufgabe (a) ist die lineare Differentialgleichung \( y' - y = e^t \). Hier ist \( p(t) = -1 \). Der Integrationsfaktor wäre dann: \( \mu(t) = e^{\int -1 dt} = e^{-t} \). Wenn wir die Gleichung nun mit \( e^{-t} \) multiplizieren, erhalten wir: \( e^{-t}y' - e^{-t}y = 1 \).

Wenn wir dies als Ableitung eines Produktes schreiben, erhalten wir: \ \[ \frac{d}{dt}\big(e^{-t} y\big) = e^t \].
Dies ist dann leicht integrierbar, und wir können die Lösung folglich ausrechnen.